微分積分例

$\frac{lim_{x \to 8} 10^{8} x^{5} + 10^{6} x^{4} + 10^{4} x^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

ステップ 1

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 8} 10^{8} x^{5} + lim_{x \to 8} 10^{6} x^{4} + lim_{x \to 8} 10^{4} x^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

ステップ 2

$10^{8}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{10^{8} lim_{x \to 8} x^{5} + lim_{x \to 8} 10^{6} x^{4} + lim_{x \to 8} 10^{4} x^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

ステップ 3

極限べき乗則を利用して、指数 $5$ を $x^{5}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{10^{8} {(lim_{x \to 8} x)}^{5} + lim_{x \to 8} 10^{6} x^{4} + lim_{x \to 8} 10^{4} x^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

ステップ 4

$10^{6}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{10^{8} {(lim_{x \to 8} x)}^{5} + 10^{6} lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 10^{4} x^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

ステップ 5

極限べき乗則を利用して、指数 $4$ を $x^{4}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{10^{8} {(lim_{x \to 8} x)}^{5} + 10^{6} {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 10^{4} x^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

ステップ 6

$10^{4}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{10^{8} {(lim_{x \to 8} x)}^{5} + 10^{6} {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 10^{4} lim_{x \to 8} x^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

ステップ 7

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{10^{8} {(lim_{x \to 8} x)}^{5} + 10^{6} {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 10^{4} {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

ステップ 8

すべての $x$ に $8$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{10^{8} \cdot 8^{5} + 10^{6} {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 10^{4} {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

ステップ 8.2

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{10^{8} \cdot 8^{5} + 10^{6} \cdot 8^{4} + 10^{4} {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

ステップ 8.3

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{10^{8} \cdot 8^{5} + 10^{6} \cdot 8^{4} + 10^{4} \cdot 8^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

ステップ 9

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$10$ を $8$ 乗します。

$\frac{100000000 \cdot 8^{5} + 10^{6} \cdot 8^{4} + 10^{4} \cdot 8^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

ステップ 9.1.2

$8$ を $5$ 乗します。

$\frac{100000000 \cdot 32768 + 10^{6} \cdot 8^{4} + 10^{4} \cdot 8^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

ステップ 9.1.3

$100000000$ に $32768$ をかけます。

$\frac{3276800000000 + 10^{6} \cdot 8^{4} + 10^{4} \cdot 8^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

ステップ 9.1.4

$10$ を $6$ 乗します。

$\frac{3276800000000 + 1000000 \cdot 8^{4} + 10^{4} \cdot 8^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

ステップ 9.1.5

$8$ を $4$ 乗します。

$\frac{3276800000000 + 1000000 \cdot 4096 + 10^{4} \cdot 8^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

ステップ 9.1.6

$1000000$ に $4096$ をかけます。

$\frac{3276800000000 + 4096000000 + 10^{4} \cdot 8^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

ステップ 9.1.7

$10$ を $4$ 乗します。

$\frac{3276800000000 + 4096000000 + 10000 \cdot 8^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

ステップ 9.1.8

$8$ を $2$ 乗します。

$\frac{3276800000000 + 4096000000 + 10000 \cdot 64}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

ステップ 9.1.9

$10000$ に $64$ をかけます。

$\frac{3276800000000 + 4096000000 + 640000}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

ステップ 9.1.10

$3276800000000$ と $4096000000$ をたし算します。

$\frac{3280896000000 + 640000}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

ステップ 9.1.11

$3280896000000$ と $640000$ をたし算します。

$\frac{3280896640000}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

ステップ 9.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$10^{5} x^{3}$ を $10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.1

$10^{5} x^{3}$ を $10^{9} x^{6}$ で因数分解します。

$\frac{3280896640000}{10^{5} x^{3} (10^{4} x^{3}) + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

ステップ 9.2.1.2

$10^{5} x^{3}$ を $10^{7} x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{3280896640000}{10^{5} x^{3} (10^{4} x^{3}) + 10^{5} x^{3} (10^{2} x^{2}) + 10^{5} x^{3}}$

ステップ 9.2.1.3

$10^{5} x^{3}$ を $10^{5} x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{3280896640000}{10^{5} x^{3} (10^{4} x^{3}) + 10^{5} x^{3} (10^{2} x^{2}) + 10^{5} x^{3} (1)}$

ステップ 9.2.1.4

$10^{5} x^{3}$ を $10^{5} x^{3} (10^{4} x^{3}) + 10^{5} x^{3} (10^{2} x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{3280896640000}{10^{5} x^{3} (10^{4} x^{3} + 10^{2} x^{2}) + 10^{5} x^{3} (1)}$

ステップ 9.2.1.5

$10^{5} x^{3}$ を $10^{5} x^{3} (10^{4} x^{3} + 10^{2} x^{2}) + 10^{5} x^{3} (1)$ で因数分解します。

$\frac{3280896640000}{10^{5} x^{3} (10^{4} x^{3} + 10^{2} x^{2} + 1)}$

ステップ 9.2.2

$10$ を $4$ 乗します。

$\frac{3280896640000}{10^{5} x^{3} (10000 x^{3} + 10^{2} x^{2} + 1)}$

ステップ 9.2.3

$10$ を $2$ 乗します。

$\frac{3280896640000}{10^{5} x^{3} (10000 x^{3} + 100 x^{2} + 1)}$

ステップ 9.2.4

有理根検定を用いて $10000 x^{3} + 100 x^{2} + 1$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.4.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 10000, \pm 2, \pm 5000, \pm 4, \pm 2500, \pm 5, \pm 2000, \pm 8, \pm 1250, \pm 10, \pm 1000, \pm 16, \pm 625, \pm 20, \pm 500, \pm 25, \pm 400, \pm 40, \pm 250, \pm 50, \pm 200, \pm 80, \pm 125, \pm 100$

ステップ 9.2.4.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.0001, \pm 0.5, \pm 0.0002, \pm 0.25, \pm 0.0004, \pm 0.2, \pm 0.0005, \pm 0.125, \pm 0.0008, \pm 0.1, \pm 0.001, \pm 0.0625, \pm 0.0016, \pm 0.05, \pm 0.002, \pm 0.04, \pm 0.0025, \pm 0.025, \pm 0.004, \pm 0.02, \pm 0.005, \pm 0.0125, \pm 0.008, \pm 0.01$

ステップ 9.2.4.3

$- 0.05$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 0.05$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.4.3.1

$- 0.05$ を多項式に代入します。

$10000 {(- 0.05)}^{3} + 100 {(- 0.05)}^{2} + 1$

ステップ 9.2.4.3.2

$- 0.05$ を $3$ 乗します。

$10000 \cdot - 0.000125 + 100 {(- 0.05)}^{2} + 1$

ステップ 9.2.4.3.3

$10000$ に $- 0.000125$ をかけます。

$- 1.25 + 100 {(- 0.05)}^{2} + 1$

ステップ 9.2.4.3.4

$- 0.05$ を $2$ 乗します。

$- 1.25 + 100 \cdot 0.0025 + 1$

ステップ 9.2.4.3.5

$100$ に $0.0025$ をかけます。

$- 1.25 + 0.25 + 1$

ステップ 9.2.4.3.6

$- 1.25$ と $0.25$ をたし算します。

$- 1 + 1$

ステップ 9.2.4.3.7

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$0$

ステップ 9.2.4.4

$- 0.05$ は既知の根なので、多項式を $20 x + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{10000 x^{3} + 100 x^{2} + 1}{20 x + 1}$

ステップ 9.2.4.5

$10000 x^{3} + 100 x^{2} + 1$ を $20 x + 1$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.4.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$20 x$

$1$

$10000 x^{3}$

$100 x^{2}$

$0 x$

$1$

ステップ 9.2.4.5.2

被除数 $10000 x^{3}$ の最高次項を除数 $20 x$ の最高次項で割ります。

					$500 x^{2}$
	$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

ステップ 9.2.4.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$500 x^{2}$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$10000 x^{3}$	+	$500 x^{2}$

ステップ 9.2.4.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $10000 x^{3} + 500 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$500 x^{2}$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$

ステップ 9.2.4.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$500 x^{2}$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$

ステップ 9.2.4.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$500 x^{2}$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$

ステップ 9.2.4.5.7

被除数 $- 400 x^{2}$ の最高次項を除数 $20 x$ の最高次項で割ります。

				$500 x^{2}$	-	$20 x$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$

ステップ 9.2.4.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$500 x^{2}$	-	$20 x$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$400 x^{2}$	-	$20 x$

ステップ 9.2.4.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 400 x^{2} - 20 x$ の符号をすべて変更します。

				$500 x^{2}$	-	$20 x$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$400 x^{2}$	+	$20 x$

ステップ 9.2.4.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$500 x^{2}$	-	$20 x$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$400 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$20 x$

ステップ 9.2.4.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$500 x^{2}$	-	$20 x$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$400 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$20 x$	+	$1$

ステップ 9.2.4.5.12

被除数 $20 x$ の最高次項を除数 $20 x$ の最高次項で割ります。

				$500 x^{2}$	-	$20 x$	+	$1$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$400 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$20 x$	+	$1$

ステップ 9.2.4.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$500 x^{2}$	-	$20 x$	+	$1$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$400 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$20 x$	+	$1$
							+	$20 x$	+	$1$

ステップ 9.2.4.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $20 x + 1$ の符号をすべて変更します。

				$500 x^{2}$	-	$20 x$	+	$1$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$400 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$20 x$	+	$1$
							-	$20 x$	-	$1$

ステップ 9.2.4.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$500 x^{2}$	-	$20 x$	+	$1$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$400 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$20 x$	+	$1$
							-	$20 x$	-	$1$
										$0$

ステップ 9.2.4.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$500 x^{2} - 20 x + 1$

ステップ 9.2.4.6

$10000 x^{3} + 100 x^{2} + 1$ を因数の集合として書き換えます。

$\frac{3280896640000}{10^{5} x^{3} ((20 x + 1) (500 x^{2} - 20 x + 1))}$

$\frac{3280896640000}{10^{5} x^{3} (20 x + 1) (500 x^{2} - 20 x + 1)}$

ステップ 9.2.5

$10$ を $5$ 乗します。

$\frac{3280896640000}{100000 x^{3} (20 x + 1) (500 x^{2} - 20 x + 1)}$

ステップ 9.3

$3280896640000$ と $100000$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$20000$ を $3280896640000$ で因数分解します。

$\frac{20000 (164044832)}{100000 x^{3} (20 x + 1) (500 x^{2} - 20 x + 1)}$

ステップ 9.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.2.1

$20000$ を $100000 x^{3} (20 x + 1) (500 x^{2} - 20 x + 1)$ で因数分解します。

$\frac{20000 (164044832)}{20000 (5 x^{3} (20 x + 1) (500 x^{2} - 20 x + 1))}$

ステップ 9.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{20000 \cdot 164044832}{20000 (5 x^{3} (20 x + 1) (500 x^{2} - 20 x + 1))}$

ステップ 9.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{164044832}{5 x^{3} (20 x + 1) (500 x^{2} - 20 x + 1)}$

微分積分 例

微分積分例