微分積分例

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 7}}{\sqrt{7 x^{2} + 1}}$

ステップ 1

極限を求めます。

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ステップ 1.1

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + 7}}{\sqrt{7 x^{2} + 1}}$

ステップ 1.2

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 7}}{\sqrt{7 x^{2} + 1}}$

ステップ 1.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 7}}{\sqrt{7 x^{2} + 1}}$

ステップ 1.4

$x$ が $8$ に近づくと定数である $7$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 7}}{\sqrt{7 x^{2} + 1}}$

ステップ 2

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{8^{2} + 7}}{\sqrt{7 x^{2} + 1}}$

ステップ 3

答えを簡約します。

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ステップ 3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$8$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{64 + 7}}{\sqrt{7 x^{2} + 1}}$

ステップ 3.1.2

$64$ と $7$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{71}}{\sqrt{7 x^{2} + 1}}$

ステップ 3.2

$\frac{\sqrt{71}}{\sqrt{7 x^{2} + 1}}$ に $\frac{\sqrt{7 x^{2} + 1}}{\sqrt{7 x^{2} + 1}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{71}}{\sqrt{7 x^{2} + 1}} \cdot \frac{\sqrt{7 x^{2} + 1}}{\sqrt{7 x^{2} + 1}}$

ステップ 3.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.3.1

$\frac{\sqrt{71}}{\sqrt{7 x^{2} + 1}}$ に $\frac{\sqrt{7 x^{2} + 1}}{\sqrt{7 x^{2} + 1}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{71} \sqrt{7 x^{2} + 1}}{\sqrt{7 x^{2} + 1} \sqrt{7 x^{2} + 1}}$

ステップ 3.3.2

$\sqrt{7 x^{2} + 1}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{71} \sqrt{7 x^{2} + 1}}{{\sqrt{7 x^{2} + 1}}^{1} \sqrt{7 x^{2} + 1}}$

ステップ 3.3.3

$\sqrt{7 x^{2} + 1}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{71} \sqrt{7 x^{2} + 1}}{{\sqrt{7 x^{2} + 1}}^{1} {\sqrt{7 x^{2} + 1}}^{1}}$

ステップ 3.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt{71} \sqrt{7 x^{2} + 1}}{{\sqrt{7 x^{2} + 1}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{71} \sqrt{7 x^{2} + 1}}{{\sqrt{7 x^{2} + 1}}^{2}}$

ステップ 3.3.6

${\sqrt{7 x^{2} + 1}}^{2}$ を $7 x^{2} + 1$ に書き換えます。

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ステップ 3.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{7 x^{2} + 1}$ を ${(7 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{71} \sqrt{7 x^{2} + 1}}{{({(7 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{71} \sqrt{7 x^{2} + 1}}{{(7 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{71} \sqrt{7 x^{2} + 1}}{{(7 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{71} \sqrt{7 x^{2} + 1}}{{(7 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{71} \sqrt{7 x^{2} + 1}}{{(7 x^{2} + 1)}^{1}}$

ステップ 3.3.6.5

簡約します。

$\frac{\sqrt{71} \sqrt{7 x^{2} + 1}}{7 x^{2} + 1}$

ステップ 3.4

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{\sqrt{71 (7 x^{2} + 1)}}{7 x^{2} + 1}$

微分積分 例

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