微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{- x}}{e^{x} - 1}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - e^{- x}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

ステップ 1.1.2.3

指数に極限を移動させます。

$\frac{1 - e^{lim_{x \to 0} - x}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

ステップ 1.1.2.4

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1 - e^{- lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

ステップ 1.1.2.5

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - e^{0}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

ステップ 1.1.2.5.2

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.2.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

ステップ 1.1.2.5.2.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

ステップ 1.1.2.5.2.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 1}$

ステップ 1.1.3.1.2

指数に極限を移動させます。

$\frac{0}{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

ステップ 1.1.3.1.3

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{1 - 1}$

ステップ 1.1.3.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{- x}}{e^{x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $1 - e^{- x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

ステップ 1.3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- e^{- x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

ステップ 1.3.4.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

ステップ 1.3.4.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

ステップ 1.3.4.2.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

ステップ 1.3.4.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

ステップ 1.3.4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

ステップ 1.3.4.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (e^{- x} \cdot - 1)}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

ステップ 1.3.4.6

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- 1 \cdot e^{- x})}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

ステップ 1.3.4.7

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - e^{- x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

ステップ 1.3.4.8

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 e^{- x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

ステップ 1.3.4.9

$e^{- x}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + e^{- x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

ステップ 1.3.5

$0$ と $e^{- x}$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $e^{x} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.7

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x}}{e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.8

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x}}{e^{x} + 0}$

ステップ 1.3.9

$e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x}}{e^{x}}$

ステップ 1.4

$e^{- x}$ と $e^{x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$e^{x}$ を $e^{- x}$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} e^{- 2 x}}{e^{x}}$

ステップ 1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$1$ を掛けます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} e^{- 2 x}}{e^{x} \cdot 1}$

ステップ 1.4.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} e^{- 2 x}}{e^{x} \cdot 1}$

ステップ 1.4.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- 2 x}}{1}$

ステップ 1.4.2.4

$e^{- 2 x}$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 0} e^{- 2 x}$

ステップ 2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{x \to 0} - 2 x}$

ステップ 2.2

$- 2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{- 2 lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{- 2 \cdot 0}$

ステップ 4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- 2$ に $0$ をかけます。

$e^{0}$

ステップ 4.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$1$

微分積分 例

微分積分例