微分積分例

$\frac{lim_{x \to 8} 3 \sqrt{x^{3}} + 3 x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

ステップ 1

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 8} 3 \sqrt{x^{3}} + lim_{x \to 8} 3 x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

ステップ 2

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3 lim_{x \to 8} \sqrt{x^{3}} + lim_{x \to 8} 3 x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

ステップ 3

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{3 \sqrt{lim_{x \to 8} x^{3}} + lim_{x \to 8} 3 x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

ステップ 4

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{3 \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}} + lim_{x \to 8} 3 x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

ステップ 5

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3 \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}} + 3 lim_{x \to 8} x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

ステップ 6

すべての $x$ に $8$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3 \sqrt{8^{3}} + 3 lim_{x \to 8} x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

ステップ 6.2

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3 \sqrt{8^{3}} + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$8$ を $3$ 乗します。

$\frac{3 \sqrt{512} + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

ステップ 7.1.2

$512$ を $16^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 7.1.2.1

$256$ を $512$ で因数分解します。

$\frac{3 \sqrt{256 (2)} + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

ステップ 7.1.2.2

$256$ を $16^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3 \sqrt{16^{2} \cdot 2} + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

ステップ 7.1.3

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{3 (16 \sqrt{2}) + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

ステップ 7.1.4

$16$ に $3$ をかけます。

$\frac{48 \sqrt{2} + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

ステップ 7.1.5

$3$ に $8$ をかけます。

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{\sqrt{2 x^{3}}}$

ステップ 7.2

分母を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$2 x^{3}$ を $x^{2} \cdot (2 x)$ に書き換えます。

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ステップ 7.2.1.1

$x^{2}$ を因数分解します。

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{\sqrt{2 (x^{2} x)}}$

ステップ 7.2.1.2

$2$ と $x^{2}$ を並べ替えます。

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{\sqrt{x^{2} \cdot 2 x}}$

ステップ 7.2.1.3

括弧を付けます。

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{\sqrt{x^{2} \cdot (2 x)}}$

ステップ 7.2.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{x \sqrt{2 x}}$

ステップ 7.3

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{x \sqrt{2 x}}$ に $\frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{2 x}}$ をかけます。

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{x \sqrt{2 x}} \cdot \frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{2 x}}$

ステップ 7.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 7.4.1

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{x \sqrt{2 x}}$ に $\frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{2 x}}$ をかけます。

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}}$

ステップ 7.4.2

$\sqrt{2 x}$ を移動させます。

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x (\sqrt{2 x} \sqrt{2 x})}$

ステップ 7.4.3

$\sqrt{2 x}$ を $1$ 乗します。

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x ({\sqrt{2 x}}^{1} \sqrt{2 x})}$

ステップ 7.4.4

$\sqrt{2 x}$ を $1$ 乗します。

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x ({\sqrt{2 x}}^{1} {\sqrt{2 x}}^{1})}$

ステップ 7.4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {\sqrt{2 x}}^{1 + 1}}$

ステップ 7.4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {\sqrt{2 x}}^{2}}$

ステップ 7.4.7

${\sqrt{2 x}}^{2}$ を $2 x$ に書き換えます。

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ステップ 7.4.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 x}$ を ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 7.4.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 7.4.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {(2 x)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 7.4.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.7.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {(2 x)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 7.4.7.4.2

式を書き換えます。

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {(2 x)}^{1}}$

ステップ 7.4.7.5

簡約します。

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x (2 x)}$

ステップ 7.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 7.5.1

$x$ を移動させます。

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x \cdot x \cdot 2}$

ステップ 7.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x^{2} \cdot 2}$

ステップ 7.6

$48 \sqrt{2} + 24$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.6.1

$2$ を $(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}$ で因数分解します。

$\frac{2 ((24 \sqrt{2} + 12) \sqrt{2 x})}{x^{2} \cdot 2}$

ステップ 7.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.6.2.1

$2$ を $x^{2} \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{2 ((24 \sqrt{2} + 12) \sqrt{2 x})}{2 \cdot x^{2}}$

ステップ 7.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 ((24 \sqrt{2} + 12) \sqrt{2 x})}{2 \cdot x^{2}}$

ステップ 7.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{(24 \sqrt{2} + 12) \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

ステップ 7.7

分配則を当てはめます。

$\frac{24 \sqrt{2} \sqrt{2 x} + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

ステップ 7.8

$24 \sqrt{2} \sqrt{2 x}$ を掛けます。

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ステップ 7.8.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{24 \sqrt{2 x \cdot 2} + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

ステップ 7.8.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{24 \sqrt{4 x} + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

ステップ 7.9

各項を簡約します。

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ステップ 7.9.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{24 \sqrt{2^{2} x} + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

ステップ 7.9.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{24 (2 \sqrt{x}) + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

ステップ 7.9.3

$2$ に $24$ をかけます。

$\frac{48 \sqrt{x} + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

ステップ 7.10

分子を簡約します。

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ステップ 7.10.1

$12$ を $48 \sqrt{x} + 12 \sqrt{2 x}$ で因数分解します。

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ステップ 7.10.1.1

$12$ を $48 \sqrt{x}$ で因数分解します。

$\frac{12 (4 \sqrt{x}) + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

ステップ 7.10.1.2

$12$ を $12 \sqrt{2 x}$ で因数分解します。

$\frac{12 (4 \sqrt{x}) + 12 (\sqrt{2 x})}{x^{2}}$

ステップ 7.10.1.3

$12$ を $12 (4 \sqrt{x}) + 12 (\sqrt{2 x})$ で因数分解します。

$\frac{12 (4 \sqrt{x} + \sqrt{2 x})}{x^{2}}$

ステップ 7.10.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{12 (4 x^{\frac{1}{2}} + \sqrt{2 x})}{x^{2}}$

ステップ 7.10.3

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 x}$ を ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{12 (4 x^{\frac{1}{2}} + {(2 x)}^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

ステップ 7.10.4

積の法則を $2 x$ に当てはめます。

$\frac{12 (4 x^{\frac{1}{2}} + 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

ステップ 7.10.5

$x^{\frac{1}{2}}$ を $4 x^{\frac{1}{2}} + 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

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ステップ 7.10.5.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を $4 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{12 (x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

ステップ 7.10.5.2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{12 (x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

ステップ 7.10.5.3

$x^{\frac{1}{2}}$ を $x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{12 (x^{\frac{1}{2}} (4 + 2^{\frac{1}{2}}))}{x^{2}}$

$\frac{12 x^{\frac{1}{2}} (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

ステップ 7.11

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}$

ステップ 7.12

指数を足して $x^{2}$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 7.12.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{2 - \frac{1}{2}}}$

ステップ 7.12.2

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}$

ステップ 7.12.3

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}$

ステップ 7.12.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}}$

ステップ 7.12.5

分子を簡約します。

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ステップ 7.12.5.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{4 - 1}{2}}}$

ステップ 7.12.5.2

$4$ から $1$ を引きます。

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

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