微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3}} - 1}{x}$

ステップ 1

${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3}}$ を $\sqrt[3]{1 + 2 x}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1 + 2 x} - 1}{x}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt[3]{1 + 2 x} - 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 2.1.2.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt[3]{1 + 2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.1.2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 0} 1 + 2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.1.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.1.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt[3]{1 + lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.1.5

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sqrt[3]{1 + 2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.1.6

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt[3]{1 + 2 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt[3]{1 + 2 \cdot 0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.2.3.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{\sqrt[3]{1 + 0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.3.1.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\sqrt[3]{1} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.3.1.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.3.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1 + 2 x} - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{1 + 2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{1 + 2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $\sqrt[3]{1 + 2 x} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{1 + 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{1 + 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{1 + 2 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{1 + 2 x}$ を ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.2

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ および $g (x) = 1 + 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 + 2 x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.2.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.2.3

$u$ のすべての発生を $1 + 2 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.3

総和則では、 $1 + 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.5

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + 2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.8

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.9

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.10

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.3.10.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{1 - 3}{3}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.10.2

$1$ から $3$ を引きます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{- 2}{3}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.11

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.12

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}} (0 + 2) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.13

$0$ と $2$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.14

$\frac{1}{3}$ と ${(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.15

$\frac{{(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ と $2$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 2}{3} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.16

$2$ を ${(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \cdot {(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.17

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.5

$\frac{2}{3 {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}}{1}$

ステップ 2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 0} \frac{2}{3 {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

ステップ 2.5

$\frac{2}{3 {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{2}{3 {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{2}{3}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 3.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 3.3

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 3.4

極限べき乗則を利用して、指数 $\frac{2}{3}$ を ${(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 0} 1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 3.5

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 3.6

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(1 + lim_{x \to 0} 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 3.7

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(1 + 2 lim_{x \to 0} x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(1 + 2 \cdot 0)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

まとめる。

$\frac{2 \cdot 1}{3 {(1 + 2 \cdot 0)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{3 {(1 + 2 \cdot 0)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5.3

分母を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{2}{3 {(1 + 0)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5.3.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2}{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5.3.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{2}{3 \cdot 1}$

ステップ 5.4

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{3}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{2}{3}$

10進法形式：

$0.\overline{6}$

微分積分 例

微分積分例