微分積分例

$lim_{x \to 0} {(\cos (x) + \sin (x))}^{\frac{1}{x}}$

ステップ 1

対数の性質を利用して極限を簡約します。

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ステップ 1.1

${(\cos (x) + \sin (x))}^{\frac{1}{x}}$ を $e^{\ln ({(\cos (x) + \sin (x))}^{\frac{1}{x}})}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(\cos (x) + \sin (x))}^{\frac{1}{x}})}$

ステップ 1.2

$\frac{1}{x}$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(\cos (x) + \sin (x))}^{\frac{1}{x}})$ を展開します。

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (\cos (x) + \sin (x))}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln (\cos (x) + \sin (x))}$

ステップ 2.2

$\frac{1}{x}$ と $\ln (\cos (x) + \sin (x))$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos (x) + \sin (x))}{x}}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$e^{\frac{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x) + \sin (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.2.1

対数の内側に極限を移動させます。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} \cos (x) + \sin (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.2.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.2.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{\frac{\ln (\cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.2.4

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{\frac{\ln (\cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.2.5

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 3.1.2.5.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{\ln (\cos (0) + \sin (lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.2.5.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{\ln (\cos (0) + \sin (0))}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.2.6

答えを簡約します。

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ステップ 3.1.2.6.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.2.6.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$e^{\frac{\ln (1 + \sin (0))}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.2.6.1.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.2.6.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.2.6.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{0}{0}}$

ステップ 3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{\frac{0}{0}}$

ステップ 3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos (x) + \sin (x))}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x) + \sin (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x) + \sin (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \cos (x) + \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\cos (x) + \sin (x)$ とします。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.2.3

$u$ のすべての発生を $\cos (x) + \sin (x)$ で置き換えます。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.3

総和則では、 $\cos (x) + \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} (\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.4

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} (- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.5

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} (- \sin (x) + \cos (x))}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.6

簡約します。

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ステップ 3.3.6.1

$\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} (- \sin (x) + \cos (x))$ の因数を並べ替えます。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{(- \sin (x) + \cos (x)) \frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.6.2

分配則を当てはめます。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) \frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.6.3

$\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.6.4

$\cos (x)$ と $\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.6.5

公分母の分子をまとめます。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{- \sin (x) + \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.6.6

$- 1$ を $- \sin (x)$ で因数分解します。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{- (\sin (x)) + \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.6.7

$- 1$ を $\cos (x)$ で因数分解します。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{- (\sin (x)) - 1 \cdot - 1 \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.6.8

$- 1$ を $- (\sin (x)) - 1 (- \cos (x))$ で因数分解します。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{- (\sin (x) - \cos (x))}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.6.9

$- (\sin (x) - \cos (x))$ を $- 1 (\sin (x) - \cos (x))$ に書き換えます。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 1 (\sin (x) - \cos (x))}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.6.10

分数の前に負数を移動させます。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}{1}}$

ステップ 3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$e^{lim_{x \to 0} - \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} \cdot 1}$

ステップ 3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to 0} - \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}$

ステップ 4

極限を求めます。

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ステップ 4.1

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{- lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}$

ステップ 4.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$e^{- \frac{lim_{x \to 0} \sin (x) - \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) + \sin (x)}}$

ステップ 4.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{- \frac{lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) + \sin (x)}}$

ステップ 4.4

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) + \sin (x)}}$

ステップ 4.5

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) + \sin (x)}}$

ステップ 4.6

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}}$

ステップ 4.7

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}}$

ステップ 4.8

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

ステップ 5

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 5.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{- \frac{\sin (0) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

ステップ 5.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{- \frac{\sin (0) - \cos (0)}{\cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

ステップ 5.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{- \frac{\sin (0) - \cos (0)}{\cos (0) + \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

ステップ 5.4

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{- \frac{\sin (0) - \cos (0)}{\cos (0) + \sin (0)}}$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$e^{- \frac{0 - \cos (0)}{\cos (0) + \sin (0)}}$

ステップ 6.1.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$e^{- \frac{0 - 1 \cdot 1}{\cos (0) + \sin (0)}}$

ステップ 6.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{- \frac{0 - 1}{\cos (0) + \sin (0)}}$

ステップ 6.1.4

$0$ から $1$ を引きます。

$e^{- \frac{- 1}{\cos (0) + \sin (0)}}$

ステップ 6.2

分母を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$e^{- \frac{- 1}{1 + \sin (0)}}$

ステップ 6.2.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$e^{- \frac{- 1}{1 + 0}}$

ステップ 6.2.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$e^{- \frac{- 1}{1}}$

ステップ 6.3

$- 1$ を $1$ で割ります。

$e^{- - 1}$

ステップ 6.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{1}$

ステップ 6.5

簡約します。

$e$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$e$

10進法形式：

$2.71828182 \dots$

微分積分 例

微分積分例