微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\sin^{2} (3 x)}$

ステップ 1

$\frac{1}{\sin^{2} (3 x)}$ を $\csc^{2} (3 x)$ に変換します。

$lim_{x \to 0} x^{2} \csc^{2} (3 x)$

ステップ 2

$x^{2} \csc^{2} (3 x)$ を $\frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (3 x)}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (3 x)}$

ステップ 3

極限を左側極限として設定します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (3 x)}$

ステップ 4

左側極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0^{-}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (3 x)}$

ステップ 4.1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.2.1

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (3 x)}$

ステップ 4.1.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (3 x)}$

ステップ 4.1.1.2.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (3 x)}$

ステップ 4.1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc^{2} (3 x)}}$

ステップ 4.1.1.3.2

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{\csc^{2} (3 x)}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 4.1.1.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 4.1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 4.1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (3 x)} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (3 x)]}$

ステップ 4.1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (3 x)]}$

ステップ 4.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (3 x)]}$

ステップ 4.1.3.3

$f (x) = x^{- 2}$ および $g (x) = \csc (3 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\csc (3 x)$ とします。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (3 x)]}$

ステップ 4.1.3.3.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 {u_{1}}^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (3 x)]}$

ステップ 4.1.3.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\csc (3 x)$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) \frac{d}{d x} [\csc (3 x)]}$

ステップ 4.1.3.4

$f (x) = \csc (x)$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $3 x$ とします。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])}$

ステップ 4.1.3.4.2

$u_{2}$ に関する $\csc (u_{2})$ の微分係数は $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ です。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])}$

ステップ 4.1.3.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) (- \csc (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

ステップ 4.1.3.5

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 3} (3 x) (\csc (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

ステップ 4.1.3.6

$\csc (3 x)$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 (\csc^{1} (3 x) \csc^{- 3} (3 x)) (\cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

ステップ 4.1.3.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 {\csc (3 x)}^{1 - 3} (\cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

ステップ 4.1.3.8

$1$ から $3$ を引きます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (3 x) (\cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

ステップ 4.1.3.9

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}$

ステップ 4.1.3.10

$3$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.1.3.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x) \cdot 1}$

ステップ 4.1.3.12

$6$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x)}$

ステップ 4.1.3.13

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.13.1

正弦と余弦に関して $\csc (3 x)$ を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 {(\frac{1}{\sin (3 x)})}^{- 2} \cot (3 x)}$

ステップ 4.1.3.13.2

底を逆数に書き換えて、指数の符号を変更します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 \sin^{2} (3 x) \cot (3 x)}$

ステップ 4.1.3.13.3

正弦と余弦に関して $\cot (3 x)$ を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 \sin^{2} (3 x) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

ステップ 4.1.3.13.4

$\sin (3 x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.13.4.1

$\sin (3 x)$ を $6 \sin^{2} (3 x)$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (3 x) (6 \sin (3 x)) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

ステップ 4.1.3.13.4.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (3 x) (6 \sin (3 x)) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

ステップ 4.1.3.13.4.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 \sin (3 x) \cos (3 x)}$

ステップ 4.1.4

$2$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 (x)}{6 \sin (3 x) \cos (3 x)}$

ステップ 4.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.2.1

$2$ を $6 \sin (3 x) \cos (3 x)$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 (x)}{2 (3 \sin (3 x) \cos (3 x))}$

ステップ 4.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 (3 \sin (3 x) \cos (3 x))}$

ステップ 4.1.4.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{3 \sin (3 x) \cos (3 x)}$

ステップ 4.1.5

分数を分解します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{3 \cos (3 x)} \cdot \frac{1}{\sin (3 x)}$

ステップ 4.1.6

$\frac{1}{\sin (3 x)}$ を $\csc (3 x)$ に変換します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{3 \cos (3 x)} \csc (3 x)$

ステップ 4.1.7

分数を分解します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{3} \cdot \frac{1}{\cos (3 x)} \csc (3 x)$

ステップ 4.1.8

$\frac{1}{\cos (3 x)}$ を $\sec (3 x)$ に変換します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{3} \sec (3 x) \csc (3 x)$

ステップ 4.1.9

$\frac{x}{3}$ と $\sec (3 x)$ をまとめます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x \sec (3 x)}{3} \csc (3 x)$

ステップ 4.1.10

$\frac{x \sec (3 x)}{3}$ と $\csc (3 x)$ をまとめます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x \sec (3 x) \csc (3 x)}{3}$

ステップ 4.2

$\frac{1}{3}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0^{-}} x \sec (3 x) \csc (3 x)$

ステップ 4.3

表を作り、 $x$ が左から $0$ に近づくときの関数 $x \sec (3 x) \csc (3 x)$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & x \sec (3 x) \csc (3 x) \\ - 0.1 & 0.35420643 \\ - 0.01 & 0.33353341 \\ - 0.001 & 0.33333533 \\ - 0.0001 & 0.33333335 \end{array}$

ステップ 4.4

$x$ 値が $0$ に近づくので、関数の値は $0.333$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が左から $0$ に近づくときの $x \sec (3 x) \csc (3 x)$ の極限は $0.333$ です。

$\frac{1}{3} \cdot 0.333$

ステップ 4.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

$\frac{1}{3}$ と $0.333$ をまとめます。

$\frac{0.333}{3}$

ステップ 4.5.2

$0.333$ を $3$ で割ります。

$0.111$

ステップ 5

極限を右側極限として設定します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (3 x)}$

ステップ 6

右側極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (3 x)}$

ステップ 6.1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.1

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (3 x)}$

ステップ 6.1.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (3 x)}$

ステップ 6.1.1.2.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (3 x)}$

ステップ 6.1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc^{2} (3 x)}}$

ステップ 6.1.1.3.2

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{\csc^{2} (3 x)}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 6.1.1.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 6.1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 6.1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (3 x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (3 x)]}$

ステップ 6.1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (3 x)]}$

ステップ 6.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (3 x)]}$

ステップ 6.1.3.3

$f (x) = x^{- 2}$ および $g (x) = \csc (3 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\csc (3 x)$ とします。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (3 x)]}$

ステップ 6.1.3.3.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 {u_{1}}^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (3 x)]}$

ステップ 6.1.3.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\csc (3 x)$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) \frac{d}{d x} [\csc (3 x)]}$

ステップ 6.1.3.4

$f (x) = \csc (x)$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $3 x$ とします。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])}$

ステップ 6.1.3.4.2

$u_{2}$ に関する $\csc (u_{2})$ の微分係数は $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ です。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])}$

ステップ 6.1.3.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) (- \csc (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

ステップ 6.1.3.5

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 3} (3 x) (\csc (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

ステップ 6.1.3.6

$\csc (3 x)$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 (\csc^{1} (3 x) \csc^{- 3} (3 x)) (\cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

ステップ 6.1.3.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 {\csc (3 x)}^{1 - 3} (\cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

ステップ 6.1.3.8

$1$ から $3$ を引きます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (3 x) (\cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

ステップ 6.1.3.9

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}$

ステップ 6.1.3.10

$3$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 6.1.3.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x) \cdot 1}$

ステップ 6.1.3.12

$6$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x)}$

ステップ 6.1.3.13

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.13.1

正弦と余弦に関して $\csc (3 x)$ を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 {(\frac{1}{\sin (3 x)})}^{- 2} \cot (3 x)}$

ステップ 6.1.3.13.2

底を逆数に書き換えて、指数の符号を変更します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 \sin^{2} (3 x) \cot (3 x)}$

ステップ 6.1.3.13.3

正弦と余弦に関して $\cot (3 x)$ を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 \sin^{2} (3 x) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

ステップ 6.1.3.13.4

$\sin (3 x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.13.4.1

$\sin (3 x)$ を $6 \sin^{2} (3 x)$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (3 x) (6 \sin (3 x)) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

ステップ 6.1.3.13.4.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (3 x) (6 \sin (3 x)) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

ステップ 6.1.3.13.4.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 \sin (3 x) \cos (3 x)}$

ステップ 6.1.4

$2$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{6 \sin (3 x) \cos (3 x)}$

ステップ 6.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.2.1

$2$ を $6 \sin (3 x) \cos (3 x)$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{2 (3 \sin (3 x) \cos (3 x))}$

ステップ 6.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 (3 \sin (3 x) \cos (3 x))}$

ステップ 6.1.4.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{3 \sin (3 x) \cos (3 x)}$

ステップ 6.1.5

分数を分解します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{3 \cos (3 x)} \cdot \frac{1}{\sin (3 x)}$

ステップ 6.1.6

$\frac{1}{\sin (3 x)}$ を $\csc (3 x)$ に変換します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{3 \cos (3 x)} \csc (3 x)$

ステップ 6.1.7

分数を分解します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{3} \cdot \frac{1}{\cos (3 x)} \csc (3 x)$

ステップ 6.1.8

$\frac{1}{\cos (3 x)}$ を $\sec (3 x)$ に変換します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{3} \sec (3 x) \csc (3 x)$

ステップ 6.1.9

$\frac{x}{3}$ と $\sec (3 x)$ をまとめます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \sec (3 x)}{3} \csc (3 x)$

ステップ 6.1.10

$\frac{x \sec (3 x)}{3}$ と $\csc (3 x)$ をまとめます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \sec (3 x) \csc (3 x)}{3}$

ステップ 6.2

$\frac{1}{3}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0^{+}} x \sec (3 x) \csc (3 x)$

ステップ 6.3

表を作り、 $x$ が右から $0$ に近づくときの関数 $x \sec (3 x) \csc (3 x)$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & x \sec (3 x) \csc (3 x) \\ 0.1 & 0.35420643 \\ 0.01 & 0.33353341 \\ 0.001 & 0.33333533 \\ 0.0001 & 0.33333335 \end{array}$

ステップ 6.4

$x$ 値が $0$ に近づくので、関数の値は $0.333$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が右から $0$ に近づくときの $x \sec (3 x) \csc (3 x)$ の極限は $0.333$ です。

$\frac{1}{3} \cdot 0.333$

ステップ 6.5

答えを簡約します。

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ステップ 6.5.1

$\frac{1}{3}$ と $0.333$ をまとめます。

$\frac{0.333}{3}$

ステップ 6.5.2

$0.333$ を $3$ で割ります。

$0.111$

ステップ 7

左側極限が右側極限に等しいので、極限は $0.111$ に等しいです。

$0.111$

微分積分 例

微分積分例