微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{t} + t^{2}}{3 t - t^{2}}$

ステップ 1

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $\frac{\sqrt{t} + t^{2}}{3 t - t^{2}}$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{t} + t^{2}}{3 t - t^{2}}$

ステップ 2

答えを簡約します。

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ステップ 2.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{t}$ を $t^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} + t^{2}}{3 t - t^{2}}$

ステップ 2.1.2

$t^{\frac{1}{2}}$ を $t^{\frac{1}{2}} + t^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{2}}{3 t - t^{2}}$

ステップ 2.1.2.2

$t^{\frac{1}{2}}$ を $t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{3}{2}}}{3 t - t^{2}}$

ステップ 2.1.2.3

$t^{\frac{1}{2}}$ を $t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{3}{2}})}{3 t - t^{2}}$

ステップ 2.1.3

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1^{3} + t^{\frac{3}{2}})}{3 t - t^{2}}$

ステップ 2.1.4

$t^{\frac{3}{2}}$ を ${(t^{\frac{1}{2}})}^{3}$ に書き換えます。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1^{3} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{3})}{3 t - t^{2}}$

ステップ 2.1.5

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = t^{\frac{1}{2}}$ です。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1^{2} - 1 t^{\frac{1}{2}} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}))}{3 t - t^{2}}$

ステップ 2.1.6

簡約します。

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ステップ 2.1.6.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - 1 t^{\frac{1}{2}} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}))}{3 t - t^{2}}$

ステップ 2.1.6.2

$- 1 t^{\frac{1}{2}}$ を $- t^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}))}{3 t - t^{2}}$

ステップ 2.1.6.3

${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1.6.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2} \cdot 2}))}{3 t - t^{2}}$

ステップ 2.1.6.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.6.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2} \cdot 2}))}{3 t - t^{2}}$

ステップ 2.1.6.3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t^{1}))}{3 t - t^{2}}$

ステップ 2.1.6.4

簡約します。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t))}{3 t - t^{2}}$

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{3 t - t^{2}}$

ステップ 2.2

$t$ を $3 t - t^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$t$ を $3 t$ で因数分解します。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t \cdot 3 - t^{2}}$

ステップ 2.2.2

$t$ を $- t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t \cdot 3 + t (- t)}$

ステップ 2.2.3

$t$ を $t \cdot 3 + t (- t)$ で因数分解します。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t (3 - t)}$

ステップ 2.3

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $t^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t (3 - t) t^{- \frac{1}{2}}}$

ステップ 2.4

指数を足して $t$ に $t^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 2.4.1

$t^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2}} t (3 - t)}$

ステップ 2.4.2

$t^{- \frac{1}{2}}$ に $t$ をかけます。

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ステップ 2.4.2.1

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2}} t^{1} (3 - t)}$

ステップ 2.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2} + 1} (3 - t)}$

ステップ 2.4.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (3 - t)}$

ステップ 2.4.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{\frac{- 1 + 2}{2}} (3 - t)}$

ステップ 2.4.5

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{\frac{1}{2}} (3 - t)}$

微分積分 例

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