微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{9}{x^{x}} - \frac{5^{x}}{x}$

ステップ 1

極限を左側極限として設定します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{9}{x^{x}} - \frac{5^{x}}{x}$

ステップ 2

値を変数に代入して極限を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ を $0$ に代入し、 $\frac{9}{x^{x}} - \frac{5^{x}}{x}$ の極限値を求めます。

$\frac{9}{0^{0}} - \frac{5^{0}}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{9}{0^{0}} - \frac{5^{0}}{0}$ が未定義なので、極限はありません。

$存在しない$

ステップ 3

極限を右側極限として設定します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{9}{x^{x}} - \frac{5^{x}}{x}$

ステップ 4

右側極限を求めます。

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ステップ 4.1

極限を求めます。

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ステップ 4.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{9}{x^{x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

ステップ 4.1.2

$9$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x^{x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

ステップ 4.1.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$9 \frac{lim_{x \to 0^{+}} 1}{lim_{x \to 0^{+}} x^{x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

ステップ 4.1.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$9 \frac{1}{lim_{x \to 0^{+}} x^{x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

ステップ 4.2

対数の性質を利用して極限を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$x^{x}$ を $e^{\ln (x^{x})}$ に書き換えます。

$9 \frac{1}{lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln (x^{x})}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

ステップ 4.2.2

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{x})$ を展開します。

$9 \frac{1}{lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (x)}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

ステップ 4.3

指数に極限を移動させます。

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (x)}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

ステップ 4.4

$x \ln (x)$ を $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}$ に書き換えます。

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

ステップ 4.5

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 4.5.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 4.5.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$9 \frac{1}{e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

ステップ 4.5.1.2

$x$ が $0$ に右から近づくとき、 $\ln (x)$ は境界がなく減少します。

$9 \frac{1}{e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

ステップ 4.5.1.3

$x$ が $0$ に右から近づくとき、分子が定数で分母が $0$ に近づくので、分数 $\frac{1}{x}$ は無限大に近づきます。

$9 \frac{1}{e^{\frac{- \infty}{\infty}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

ステップ 4.5.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$9 \frac{1}{e^{\frac{- \infty}{\infty}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

ステップ 4.5.2

$\frac{- \infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 4.5.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 4.5.3.1

分母と分子を微分します。

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

ステップ 4.5.3.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

ステップ 4.5.3.3

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

ステップ 4.5.3.4

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- x^{- 2}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

ステップ 4.5.3.5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

ステップ 4.5.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 1 x^{2}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

ステップ 4.5.5

$\frac{1}{x}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2}}{x}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

ステップ 4.5.6

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.5.6.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

ステップ 4.5.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.5.6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x^{1}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

ステップ 4.5.6.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

ステップ 4.5.6.2.3

共通因数を約分します。

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

ステップ 4.5.6.2.4

式を書き換えます。

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x}{1}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

ステップ 4.5.6.2.5

$x$ を $1$ で割ります。

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

ステップ 4.6

極限を求めます。

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ステップ 4.6.1

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$9 \frac{1}{e^{- lim_{x \to 0^{+}} x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

ステップ 4.6.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$9 \frac{1}{e^{0}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

ステップ 4.7

分子が正で、分母 $x$ が0に近づき、右側の $0$ に近い $x$ について0より大きいので、関数は界なく増加します。

$9 \frac{1}{e^{0}} - \infty$

ステップ 4.8

答えを簡約します。

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ステップ 4.8.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.8.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$9 (\frac{1}{1}) - \infty$

ステップ 4.8.1.2

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.8.1.2.1

共通因数を約分します。

$9 (\frac{1}{1}) - \infty$

ステップ 4.8.1.2.2

式を書き換えます。

$9 \cdot 1 - \infty$

ステップ 4.8.1.3

$9$ に $1$ をかけます。

$9 - \infty$

ステップ 4.8.1.4

0でない定数に無限大倍すると無限大です。

$9 + - \infty$

ステップ 4.8.2

無限大プラスまたはマイナスある数は無限大です。

$- \infty$

ステップ 5

グラフの山または谷の点のいずれもない場合、極限はありません。

$存在しない$

微分積分 例

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