微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} - e^{- 2 x} - 4 x}{x - \sin (x)}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} e^{2 x} - e^{- 2 x} - 4 x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} e^{2 x} - lim_{x \to 0} e^{- 2 x} - lim_{x \to 0} 4 x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

ステップ 1.1.2.2

指数に極限を移動させます。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} e^{- 2 x} - lim_{x \to 0} 4 x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

ステップ 1.1.2.3

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{e^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} e^{- 2 x} - lim_{x \to 0} 4 x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

ステップ 1.1.2.4

指数に極限を移動させます。

$\frac{e^{2 lim_{x \to 0} x} - e^{lim_{x \to 0} - 2 x} - lim_{x \to 0} 4 x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

ステップ 1.1.2.5

$- 2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{e^{2 lim_{x \to 0} x} - e^{- 2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 4 x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

ステップ 1.1.2.6

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{e^{2 lim_{x \to 0} x} - e^{- 2 lim_{x \to 0} x} - 4 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

ステップ 1.1.2.7

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.7.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{2 \cdot 0} - e^{- 2 lim_{x \to 0} x} - 4 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

ステップ 1.1.2.7.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{2 \cdot 0} - e^{- 2 \cdot 0} - 4 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

ステップ 1.1.2.7.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{2 \cdot 0} - e^{- 2 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

ステップ 1.1.2.8

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.8.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{e^{0} - e^{- 2 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

ステップ 1.1.2.8.1.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1 - e^{- 2 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

ステップ 1.1.2.8.1.3

$- 2$ に $0$ をかけます。

$\frac{1 - e^{0} - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

ステップ 1.1.2.8.1.4

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

ステップ 1.1.2.8.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1 - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

ステップ 1.1.2.8.1.6

$- 4$ に $0$ をかけます。

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

ステップ 1.1.2.8.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

ステップ 1.1.2.8.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 1.1.3.2

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \sin (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 1.1.3.3

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0 - \sin (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 1.1.3.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0 - \sin (0)}$

ステップ 1.1.3.4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.4.1.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{0 - 0}$

ステップ 1.1.3.4.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{0 + 0}$

ステップ 1.1.3.4.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.5

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} - e^{- 2 x} - 4 x}{x - \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{2 x} - e^{- 2 x} - 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{2 x} - e^{- 2 x} - 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $e^{2 x} - e^{- 2 x} - 4 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

ステップ 1.3.3

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

ステップ 1.3.3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

ステップ 1.3.3.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

ステップ 1.3.3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

ステップ 1.3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

ステップ 1.3.3.4

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

ステップ 1.3.3.5

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- e^{- 2 x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

ステップ 1.3.4.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- 2 x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

ステップ 1.3.4.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

ステップ 1.3.4.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- 2 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

ステップ 1.3.4.3

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

ステップ 1.3.4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

ステップ 1.3.4.5

$- 2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - (e^{- 2 x} \cdot - 2) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

ステップ 1.3.4.6

$- 2$ を $e^{- 2 x}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - (- 2 \cdot e^{- 2 x}) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

ステップ 1.3.4.7

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

ステップ 1.3.5

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

ステップ 1.3.5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

ステップ 1.3.5.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $x - \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

ステップ 1.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4}{1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

ステップ 1.3.8

$\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.8.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \sin (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4}{1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 1.3.8.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4}{1 - \cos (x)}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} 2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} 2 e^{2 x} + lim_{x \to 0} 2 e^{- 2 x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

ステップ 2.1.2.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 lim_{x \to 0} e^{2 x} + lim_{x \to 0} 2 e^{- 2 x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

ステップ 2.1.2.3

指数に極限を移動させます。

$\frac{2 e^{lim_{x \to 0} 2 x} + lim_{x \to 0} 2 e^{- 2 x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

ステップ 2.1.2.4

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 e^{2 lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} 2 e^{- 2 x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

ステップ 2.1.2.5

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 e^{2 lim_{x \to 0} x} + 2 lim_{x \to 0} e^{- 2 x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

ステップ 2.1.2.6

指数に極限を移動させます。

$\frac{2 e^{2 lim_{x \to 0} x} + 2 e^{lim_{x \to 0} - 2 x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

ステップ 2.1.2.7

$- 2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 e^{2 lim_{x \to 0} x} + 2 e^{- 2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

ステップ 2.1.2.8

$x$ が $0$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{2 e^{2 lim_{x \to 0} x} + 2 e^{- 2 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

ステップ 2.1.2.9

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.9.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2 e^{2 \cdot 0} + 2 e^{- 2 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

ステップ 2.1.2.9.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2 e^{2 \cdot 0} + 2 e^{- 2 \cdot 0} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

ステップ 2.1.2.10

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.10.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.10.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{2 e^{0} + 2 e^{- 2 \cdot 0} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

ステップ 2.1.2.10.1.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{2 \cdot 1 + 2 e^{- 2 \cdot 0} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

ステップ 2.1.2.10.1.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 + 2 e^{- 2 \cdot 0} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

ステップ 2.1.2.10.1.4

$- 2$ に $0$ をかけます。

$\frac{2 + 2 e^{0} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

ステップ 2.1.2.10.1.5

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{2 + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

ステップ 2.1.2.10.1.6

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 + 2 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

ステップ 2.1.2.10.1.7

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{2 + 2 - 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

ステップ 2.1.2.10.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

ステップ 2.1.2.10.3

$4$ から $4$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

ステップ 2.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

ステップ 2.1.3.1.2

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

ステップ 2.1.3.1.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 2.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

ステップ 2.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.3.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 2.1.3.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{1 - 1}$

ステップ 2.1.3.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4}{1 - \cos (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 e^{2 x}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

ステップ 2.3.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

ステップ 2.3.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

ステップ 2.3.3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

ステップ 2.3.3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

ステップ 2.3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

ステップ 2.3.3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

ステップ 2.3.3.6

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

ステップ 2.3.3.7

$2$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

ステップ 2.3.4

$\frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 e^{- 2 x}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + 2 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

ステップ 2.3.4.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- 2 x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

ステップ 2.3.4.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

ステップ 2.3.4.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- 2 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + 2 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

ステップ 2.3.4.3

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + 2 (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

ステップ 2.3.4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + 2 (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

ステップ 2.3.4.5

$- 2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + 2 (e^{- 2 x} \cdot - 2) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

ステップ 2.3.4.6

$- 2$ を $e^{- 2 x}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + 2 (- 2 \cdot e^{- 2 x}) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

ステップ 2.3.4.7

$- 2$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

ステップ 2.3.5

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x} + 0}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

ステップ 2.3.6

$4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

ステップ 2.3.7

総和則では、 $1 - \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

ステップ 2.3.8

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

ステップ 2.3.9

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.9.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

ステップ 2.3.9.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{0 - - \sin (x)}$

ステップ 2.3.9.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{0 + 1 \sin (x)}$

ステップ 2.3.9.4

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{0 + \sin (x)}$

ステップ 2.3.10

$0$ と $\sin (x)$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{\sin (x)}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} 4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 3.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} 4 e^{2 x} - lim_{x \to 0} 4 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 3.1.2.2

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{4 lim_{x \to 0} e^{2 x} - lim_{x \to 0} 4 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 3.1.2.3

指数に極限を移動させます。

$\frac{4 e^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 4 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 3.1.2.4

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{4 e^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 4 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 3.1.2.5

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{4 e^{2 lim_{x \to 0} x} - 4 lim_{x \to 0} e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 3.1.2.6

指数に極限を移動させます。

$\frac{4 e^{2 lim_{x \to 0} x} - 4 e^{lim_{x \to 0} - 2 x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 3.1.2.7

$- 2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{4 e^{2 lim_{x \to 0} x} - 4 e^{- 2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 3.1.2.8

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.8.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{4 e^{2 \cdot 0} - 4 e^{- 2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 3.1.2.8.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{4 e^{2 \cdot 0} - 4 e^{- 2 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 3.1.2.9

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.9.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{4 e^{0} - 4 e^{- 2 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 3.1.2.9.1.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{4 \cdot 1 - 4 e^{- 2 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 3.1.2.9.1.3

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 - 4 e^{- 2 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 3.1.2.9.1.4

$- 2$ に $0$ をかけます。

$\frac{4 - 4 e^{0}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 3.1.2.9.1.5

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{4 - 4 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 3.1.2.9.1.6

$- 4$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 3.1.2.9.2

$4$ から $4$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 3.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 3.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sin (0)}$

ステップ 3.1.3.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.3.2

総和則では、 $4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.3.3

$\frac{d}{d x} [4 e^{2 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 e^{2 x}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.3.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.3.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{4 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.3.3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{4 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.3.3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{4 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{4 (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.3.3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{4 (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.3.3.6

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.3.3.7

$2$ に $4$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.3.4

$\frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 e^{- 2 x}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} - 4 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.3.4.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- 2 x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 2 x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.3.4.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} - 4 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.3.4.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- 2 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} - 4 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.3.4.3

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} - 4 (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.3.4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} - 4 (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.3.4.5

$- 2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} - 4 (e^{- 2 x} \cdot - 2)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.3.4.6

$- 2$ を $e^{- 2 x}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} - 4 (- 2 \cdot e^{- 2 x})}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.3.4.7

$- 2$ に $- 4$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} + 8 e^{- 2 x}}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.3.5

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} + 8 e^{- 2 x}}{\cos (x)}$

ステップ 4

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 0} 8 e^{2 x} + 8 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

ステップ 4.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} 8 e^{2 x} + lim_{x \to 0} 8 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

ステップ 4.3

$8$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{8 lim_{x \to 0} e^{2 x} + lim_{x \to 0} 8 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

ステップ 4.4

指数に極限を移動させます。

$\frac{8 e^{lim_{x \to 0} 2 x} + lim_{x \to 0} 8 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

ステップ 4.5

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{8 e^{2 lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} 8 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

ステップ 4.6

$8$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{8 e^{2 lim_{x \to 0} x} + 8 lim_{x \to 0} e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

ステップ 4.7

指数に極限を移動させます。

$\frac{8 e^{2 lim_{x \to 0} x} + 8 e^{lim_{x \to 0} - 2 x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

ステップ 4.8

$- 2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{8 e^{2 lim_{x \to 0} x} + 8 e^{- 2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

ステップ 4.9

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{8 e^{2 lim_{x \to 0} x} + 8 e^{- 2 lim_{x \to 0} x}}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 5

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{8 e^{2 \cdot 0} + 8 e^{- 2 lim_{x \to 0} x}}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 5.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{8 e^{2 \cdot 0} + 8 e^{- 2 \cdot 0}}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 5.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{8 e^{2 \cdot 0} + 8 e^{- 2 \cdot 0}}{\cos (0)}$

ステップ 6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$8$ を $8 e^{2 \cdot 0} + 8 e^{- 2 \cdot 0}$ で因数分解します。

$\frac{8 (e^{2 \cdot 0} + e^{- 2 \cdot 0})}{\cos (0)}$

ステップ 6.1.2

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{8 (e^{0} + e^{- 2 \cdot 0})}{\cos (0)}$

ステップ 6.1.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{8 (1 + e^{- 2 \cdot 0})}{\cos (0)}$

ステップ 6.1.4

$- 2$ に $0$ をかけます。

$\frac{8 (1 + e^{0})}{\cos (0)}$

ステップ 6.1.5

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{8 (1 + 1)}{\cos (0)}$

ステップ 6.1.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{8 \cdot 2}{\cos (0)}$

ステップ 6.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{8 \cdot 2}{1}$

ステップ 6.3

$8$ に $2$ をかけます。

$\frac{16}{1}$

ステップ 6.4

$16$ を $1$ で割ります。

$16$

微分積分 例

微分積分例