微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{1 + (x - 1) \cos (x)}{4 x}$

ステップ 1

$\frac{1}{4}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1 + (x - 1) \cos (x)}{x}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1 + (x - 1) \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} (x - 1) \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.2

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + lim_{x \to 0} (x - 1) \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + lim_{x \to 0} x - 1 \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.4

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + (lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.5

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + (lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.6

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + (lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.7

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.7.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + (0 - 1 \cdot 1) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.7.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + (0 - 1 \cdot 1) \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.8

答えを簡約します。

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ステップ 2.1.2.8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.8.1.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + (0 - 1) \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.8.1.2

$0$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 - 1 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.8.1.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.8.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.8.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{1 + (x - 1) \cos (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 + (x - 1) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 + (x - 1) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $1 + (x - 1) \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [(x - 1) \cos (x)]$ です。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [(x - 1) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [(x - 1) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.4

$\frac{d}{d x} [(x - 1) \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.4.1

$f (x) = x - 1$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + (x - 1) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.4.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + (x - 1) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.4.3

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + (x - 1) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + (x - 1) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.4.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + (x - 1) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.4.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + (x - 1) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.4.7

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + (x - 1) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + x \cdot - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.5.2

項をまとめます。

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ステップ 2.3.5.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + x \cdot - 1 \sin (x) + 1 \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.5.2.2

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + x \cdot - 1 \sin (x) + \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.5.2.3

$0$ と $x (- \sin (x)) + \sin (x) + \cos (x)$ をたし算します。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.5.3

項を並べ替えます。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + \sin (x) + \cos (x)}{1}$

ステップ 2.4

$- x \sin (x) + \sin (x) + \cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} - x \sin (x) + \sin (x) + \cos (x)$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{4} (- lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos (x))$

ステップ 3.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{4} (- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos (x))$

ステップ 3.3

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{4} (- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos (x))$

ステップ 3.4

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{4} (- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x))$

ステップ 3.5

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{4} (- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x))$

ステップ 4

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 4.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} (0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x))$

ステップ 4.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} (0 \cdot \sin (0) + \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x))$

ステップ 4.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} (0 \cdot \sin (0) + \sin (0) + \cos (lim_{x \to 0} x))$

ステップ 4.4

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} (0 \cdot \sin (0) + \sin (0) + \cos (0))$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{4} (0 \cdot 0 + \sin (0) + \cos (0))$

ステップ 5.1.2

$0$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{4} (0 + \sin (0) + \cos (0))$

ステップ 5.1.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{4} (0 + 0 + \cos (0))$

ステップ 5.1.4

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{4} (0 + 0 + 1)$

ステップ 5.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{4} (0 + 1)$

ステップ 5.3

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{4} \cdot 1$

ステップ 5.4

$\frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{4}$

10進法形式：

$0.25$

微分積分 例

微分積分例