微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{12 (1 - \cos (x))}{x^{2}}$

ステップ 1

$12$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$12 lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x^{2}}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$12 \frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 2.1.2.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$12 \frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 2.1.2.1.2

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$12 \frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 2.1.2.1.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$12 \frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 2.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$12 \frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 2.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.2.3.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$12 \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 2.1.2.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$12 \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 2.1.2.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$12 \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 2.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$12 \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$12 \frac{0}{0^{2}}$

ステップ 2.1.3.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$12 (\frac{0}{0})$

ステップ 2.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$12 (\frac{0}{0})$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$12 (\frac{0}{0})$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$12 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $1 - \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ です。

$12 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 2.3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$12 lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 2.3.4

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$12 lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 2.3.4.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$12 lim_{x \to 0} \frac{0 - - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 2.3.4.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$12 lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 2.3.4.4

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$12 lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 2.3.5

$0$ と $\sin (x)$ をたし算します。

$12 lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 2.3.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 x}$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$12 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}$

ステップ 4

$\cos (x) \leq \frac{\sin (x)}{x} \leq 1$ と $lim_{x \to 0} \cos (x) = lim_{x \to 0} 1 = 1$ なので、はさみうちの原理を当てはめます。

$12 (\frac{1}{2}) \cdot 1$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.1

$2$ を $12$ で因数分解します。

$2 (6) \frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 5.1.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot 6 \frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 5.1.3

式を書き換えます。

$6 \cdot 1$

ステップ 5.2

$6$ に $1$ をかけます。

$6$

微分積分 例

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