微分積分例

$lim_{x \to 0} | x | \cos (\frac{π}{x})$

ステップ 1

極限を求めます。

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ステップ 1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$lim_{x \to 0} | x | \cdot lim_{x \to 0} \cos (\frac{π}{x})$

ステップ 1.2

極限を絶対値記号の中に移動させます。

$| lim_{x \to 0} x | \cdot lim_{x \to 0} \cos (\frac{π}{x})$

ステップ 2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$| 0 | \cdot lim_{x \to 0} \cos (\frac{π}{x})$

ステップ 3

左側極限を考えます。

$lim_{x \to 0^{-}} \cos (\frac{π}{x})$

ステップ 4

表を作り、 $x$ が左から $0$ に近づくときの関数 $\cos (\frac{π}{x})$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & \cos (\frac{π}{x}) \\ - 0.1 & 1 \\ - 0.01 & 1 \\ - 0.001 & - 0.52509112 \\ - 0.0001 & 0.98390071 \\ - 0.00001 & 0.21498467 \\ - 0.000001 & - 0.11167431 \\ - 0.0000001 & 0.25336184 \\ - 0.00000001 & - 0.90154773 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0.99999999 \end{array}$

ステップ 5

$x$ 値が $0$ に近づくので、関数の値は $1$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が左から $0$ に近づくときの $\cos (\frac{π}{x})$ の極限は $1$ です。

$1$

ステップ 6

右側極限を考えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \cos (\frac{π}{x})$

ステップ 7

表を作り、 $x$ が右から $0$ に近づくときの関数 $\cos (\frac{π}{x})$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & \cos (\frac{π}{x}) \\ 0.1 & 1 \\ 0.01 & 1 \\ 0.001 & - 0.66711772 \\ 0.0001 & - 0.10775036 \\ 0.00001 & 0.87550456 \\ 0.000001 & 0.98459857 \\ 0.0000001 & - 0.99950431 \\ 0.00000001 & 0.67066438 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0.99999999 \end{array}$

ステップ 8

$x$ 値が $0$ に近づくので、関数の値は $1$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が右から $0$ に近づくときの $\cos (\frac{π}{x})$ の極限は $1$ です。

$| 0 | \cdot 1$

ステップ 9

答えを簡約します。

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ステップ 9.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $0$ の間の距離は $0$ です。

$0 \cdot 1$

ステップ 9.2

$0$ に $1$ をかけます。

$0$

微分積分 例

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