微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{3 x} + \frac{2 x}{3 \sin (x)}$

ステップ 1

極限を求めます。

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ステップ 1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{3 x} + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 \sin (x)}$

ステップ 1.2

$\frac{1}{3}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 \sin (x)}$

ステップ 2

$\cos (x) \leq \frac{\sin (x)}{x} \leq 1$ と $lim_{x \to 0} \cos (x) = lim_{x \to 0} 1 = 1$ なので、はさみうちの原理を当てはめます。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 \sin (x)}$

ステップ 3

$\frac{2}{3}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)}$

ステップ 4

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 4.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 4.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 4.1.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 4.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 4.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

ステップ 4.1.3.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 4.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 4.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 4.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 4.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 4.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 4.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 4.3.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 5

極限を求めます。

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ステップ 5.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

ステップ 5.2

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

ステップ 5.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 6

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

ステップ 7.1.2

$\frac{1}{\cos (0)}$ を $\sec (0)$ に変換します。

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \sec (0)$

ステップ 7.1.3

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1$

ステップ 7.1.4

$\frac{2}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3}$

ステップ 7.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 + 2}{3}$

ステップ 7.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{3}{3}$

ステップ 7.4

$3$ を $3$ で割ります。

$1$

微分積分 例

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