微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{x \csc (2 x)}{\cos (5 x)}$

ステップ 1

極限を求めます。

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ステップ 1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

ステップ 1.2

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (2 x)}{\cos (lim_{x \to 0} 5 x)}$

ステップ 1.3

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (2 x)}{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (2 x)}{\cos (5 \cdot 0)}$

ステップ 3

左側極限を考えます。

$lim_{x \to 0^{-}} x \csc (2 x)$

ステップ 4

表を作り、 $x$ が左から $0$ に近づくときの関数 $x \csc (2 x)$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & x \csc (2 x) \\ - 0.1 & 0.50334895 \\ - 0.01 & 0.50003333 \\ - 0.001 & 0.50000033 \end{array}$

ステップ 5

$x$ 値が $0$ に近づくので、関数の値は $0.5$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が左から $0$ に近づくときの $x \csc (2 x)$ の極限は $0.5$ です。

$0.5$

ステップ 6

右側極限を考えます。

$lim_{x \to 0^{+}} x \csc (2 x)$

ステップ 7

表を作り、 $x$ が右から $0$ に近づくときの関数 $x \csc (2 x)$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & x \csc (2 x) \\ 0.1 & 0.50334895 \\ 0.01 & 0.50003333 \\ 0.001 & 0.50000033 \end{array}$

ステップ 8

$x$ 値が $0$ に近づくので、関数の値は $0.5$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が右から $0$ に近づくときの $x \csc (2 x)$ の極限は $0.5$ です。

$\frac{0.5}{\cos (5 \cdot 0)}$

ステップ 9

答えを簡約します。

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ステップ 9.1

分数を分解します。

$\frac{0.5}{1} \cdot \frac{1}{\cos (5 \cdot 0)}$

ステップ 9.2

$\frac{1}{\cos (5 \cdot 0)}$ を $\sec (5 \cdot 0)$ に変換します。

$\frac{0.5}{1} \sec (5 \cdot 0)$

ステップ 9.3

$5$ に $0$ をかけます。

$\frac{0.5}{1} \sec (0)$

ステップ 9.4

$0.5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{0.5}{1} \sec (0)$

ステップ 9.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sec (0)}{2}$

ステップ 9.5

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{2}$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{2}$

10進法形式：

$0.5$

微分積分 例

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