微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (- \frac{π x}{2})}{2 x}$

ステップ 1

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\sin (- \frac{π x}{2})}{x}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (- \frac{π x}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 2.1.2.1.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} - \frac{π x}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.1.2

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (- lim_{x \to 0} \frac{π x}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.1.3

$\frac{π}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (- \frac{π}{2} lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (- \frac{π}{2} \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.1.2.3.1

$\frac{π}{2}$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (- 0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.3.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.3.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (- \frac{π x}{2})}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (- \frac{π x}{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (- \frac{π x}{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = - \frac{π x}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- \frac{π x}{2}$ とします。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [- \frac{π x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [- \frac{π x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $- \frac{π x}{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (- \frac{π x}{2}) \frac{d}{d x} [- \frac{π x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3

$- \frac{π}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{π x}{2}$ の微分係数は $- \frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (- \frac{π x}{2}) \cdot - 1 \frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.4

$\cos (- \frac{π x}{2})$ と $\frac{π}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\cos (- \frac{π x}{2}) π}{2} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\cos (- \frac{π x}{2}) π}{2} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\cos (- \frac{π x}{2}) π}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.7

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.7.1

$\cos (- \frac{π x}{2})$ が偶関数なので、 $\cos (- \frac{π x}{2})$ を $\cos (\frac{π x}{2})$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\cos (\frac{π x}{2}) π}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.7.2

$\cos (\frac{π x}{2}) π$ の因数を並べ替えます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{π \cos (\frac{π x}{2})}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{π \cos (\frac{π x}{2})}{2}}{1}$

ステップ 2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} - \frac{π \cos (\frac{π x}{2})}{2} \cdot 1$

ステップ 2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} - \frac{π \cos (\frac{π x}{2})}{2}$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot - 1 lim_{x \to 0} \frac{π \cos (\frac{π x}{2})}{2}$

ステップ 3.2

$\frac{π}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{π}{2} lim_{x \to 0} \cos (\frac{π x}{2})$

ステップ 3.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{π}{2} \cos (lim_{x \to 0} \frac{π x}{2})$

ステップ 3.4

$\frac{π}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2} lim_{x \to 0} x)$

ステップ 4

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2} \cdot 0)$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{- 1}{2} \cdot \frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2} \cdot 0)$

ステップ 5.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2} \cdot 0)$

ステップ 5.3

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.3.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{π}{2 \cdot 2} \cos (\frac{π}{2} \cdot 0)$

ステップ 5.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{π}{4} \cos (\frac{π}{2} \cdot 0)$

ステップ 5.4

$\frac{π}{2}$ に $0$ をかけます。

$- \frac{π}{4} \cos (0)$

ステップ 5.5

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- \frac{π}{4} \cdot 1$

ステップ 5.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{π}{4}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{π}{4}$

10進法形式：

$- 0.78539816 \dots$

微分積分 例

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