微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{x - \tan (x)}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

ステップ 1.1.2.2

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{lim_{x \to 0} x - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

ステップ 1.1.2.3

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0 - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

ステップ 1.1.2.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

ステップ 1.1.2.4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.1.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

ステップ 1.1.2.4.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

ステップ 1.1.2.4.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \tan (x)}$

ステップ 1.1.3.2

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \tan (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 1.1.3.3

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0 - \tan (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 1.1.3.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0 - \tan (0)}$

ステップ 1.1.3.4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.4.1.1

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{0 - 0}$

ステップ 1.1.3.4.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{0 + 0}$

ステップ 1.1.3.4.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.5

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{x - \tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \tan (x)]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \tan (x)]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $x - \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \tan (x)]}$

ステップ 1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \tan (x)]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \sin (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \tan (x)]}$

ステップ 1.3.4.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x - \tan (x)]}$

ステップ 1.3.5

総和則では、 $x - \tan (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

ステップ 1.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{1 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

ステップ 1.3.7

$\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \tan (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{1 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

ステップ 1.3.7.2

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{1 - \sec^{2} (x)}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

ステップ 2.1.2.1.2

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

ステップ 2.1.2.1.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

ステップ 2.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

ステップ 2.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

ステップ 2.1.2.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

ステップ 2.1.2.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

ステップ 2.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

ステップ 2.1.3.1.2

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

ステップ 2.1.3.1.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\sec^{2} (x)$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{1 - {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}$

ステップ 2.1.3.1.4

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{1 - \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 2.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1 - \sec^{2} (0)}$

ステップ 2.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.3.1

$1$ と $- \sec^{2} (0)$ を並べ替えます。

$\frac{0}{- \sec^{2} (0) + 1}$

ステップ 2.1.3.3.2

$- 1$ を $- \sec^{2} (0)$ で因数分解します。

$\frac{0}{- (\sec^{2} (0)) + 1}$

ステップ 2.1.3.3.3

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{0}{- \sec^{2} (0) - 1 \cdot - 1}$

ステップ 2.1.3.3.4

$- 1$ を $- \sec^{2} (0) - 1 \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{0}{- (\sec^{2} (0) - 1)}$

ステップ 2.1.3.3.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{0}{- \tan^{2} (0)}$

ステップ 2.1.3.3.6

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{- 0^{2}}$

ステップ 2.1.3.3.7

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{- 0}$

ステップ 2.1.3.3.8

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.3.3.9

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{1 - \sec^{2} (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $1 - \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

ステップ 2.3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

ステップ 2.3.4

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

ステップ 2.3.4.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

ステップ 2.3.4.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

ステップ 2.3.4.4

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

ステップ 2.3.5

$0$ と $\sin (x)$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

ステップ 2.3.6

総和則では、 $1 - \sec^{2} (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]}$

ステップ 2.3.7

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]}$

ステップ 2.3.8

$\frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.8.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \sec^{2} (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}$

ステップ 2.3.8.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sec (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.8.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sec (x)$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

ステップ 2.3.8.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

ステップ 2.3.8.2.3

$u$ のすべての発生を $\sec (x)$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

ステップ 2.3.8.3

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))}$

ステップ 2.3.8.4

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x))}$

ステップ 2.3.8.5

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x))}$

ステップ 2.3.8.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))}$

ステップ 2.3.8.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (2 \sec^{2} (x) \tan (x))}$

ステップ 2.3.8.8

$2$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - 2 \sec^{2} (x) \tan (x)}$

ステップ 2.3.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.9.1

$0$ から $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ を引きます。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- 2 \sec^{2} (x) \tan (x)}$

ステップ 2.3.9.2

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x)}$

ステップ 2.3.9.3

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}$

ステップ 2.3.9.4

1のすべての数の累乗は1です。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- 2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}$

ステップ 2.3.9.5

$- 2$ と $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}$

ステップ 2.3.9.6

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- \frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}$

ステップ 2.3.9.7

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- \frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 2.3.9.8

$- \frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.9.8.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に $\frac{2}{\cos^{2} (x)}$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- \frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos (x) \cos^{2} (x)}}$

ステップ 2.3.9.8.2

指数を足して $\cos (x)$ に $\cos^{2} (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.9.8.2.1

$\cos (x)$ に $\cos^{2} (x)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.9.8.2.1.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- \frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos^{1} (x) \cos^{2} (x)}}$

ステップ 2.3.9.8.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- \frac{\sin (x) \cdot 2}{{\cos (x)}^{1 + 2}}}$

ステップ 2.3.9.8.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- \frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos^{3} (x)}}$

ステップ 2.3.9.9

$2$ を $\sin (x)$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- \frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)}}$

ステップ 2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 0} \sin (x) (- \frac{\cos^{3} (x)}{2 \sin (x)})$

ステップ 2.5

$\sin (x)$ と $\frac{\cos^{3} (x)}{2 \sin (x)}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} - \frac{\sin (x) \cos^{3} (x)}{2 \sin (x)}$

ステップ 2.6

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.6.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0} - \frac{\sin (x) \cos^{3} (x)}{2 \sin (x)}$

ステップ 2.6.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to 0} - \frac{\cos^{3} (x)}{2}$

ステップ 3

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- lim_{x \to 0} \frac{\cos^{3} (x)}{2}$

ステップ 3.2

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)$

ステップ 3.3

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $\cos^{3} (x)$ から極限値外側に移動させます。

$- \frac{1}{2} {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{3}$

ステップ 3.4

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$- \frac{1}{2} \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)$

ステップ 4

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{2} \cos^{3} (0)$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- \frac{1}{2} \cdot 1^{3}$

ステップ 5.2

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 5.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{2}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{1}{2}$

10進法形式：

$- 0.5$

微分積分 例

微分積分例