微分積分例

$lim_{x \to 0} 1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

ステップ 1

極限を左側極限として設定します。

$lim_{x \to 0^{-}} 1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

ステップ 2

値を変数に代入して極限を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ を $0$ に代入し、 $1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$ の極限値を求めます。

$1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\cot (0)}$

ステップ 2.2

正弦と余弦に関して $\cot (0)$ を書き換えます。

$1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\frac{\cos (0)}{\sin (0)}}$

ステップ 2.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\frac{\cos (0)}{0}}$

ステップ 2.4

$1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\frac{\cos (0)}{0}}$ が未定義なので、極限はありません。

$存在しない$

ステップ 3

極限を右側極限として設定します。

$lim_{x \to 0^{+}} 1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

ステップ 4

右側極限を求めます。

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ステップ 4.1

極限を求めます。

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ステップ 4.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{x \to 0^{+}} 1 + lim_{x \to 0^{+}} {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

ステップ 4.1.2

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$1 + lim_{x \to 0^{+}} {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

ステップ 4.2

対数の性質を利用して極限を簡約します。

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ステップ 4.2.1

${\sin (4 x)}^{\cot (x)}$ を $e^{\ln ({\sin (4 x)}^{\cot (x)})}$ に書き換えます。

$1 + lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({\sin (4 x)}^{\cot (x)})}$

ステップ 4.2.2

$\cot (x)$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({\sin (4 x)}^{\cot (x)})$ を展開します。

$1 + lim_{x \to 0^{+}} e^{\cot (x) \ln (\sin (4 x))}$

ステップ 4.3

指数 $\cot (x) \ln (\sin (4 x))$ が $- \infty$ に近づくので、数 $e^{\cot (x) \ln (\sin (4 x))}$ が $0$ に近づきます。

$1 + 0$

ステップ 4.4

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 5

グラフの山または谷の点のいずれもない場合、極限はありません。

$存在しない$

微分積分 例

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