微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x^{2})}{x^{2}}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (5 x^{2})}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.2.1.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 5 x^{2})}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.1.2

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sin (5 lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.1.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{\sin (5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (5 \cdot 0^{2})}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{\sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.2

$5$ に $0$ をかけます。

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0^{2}}$

ステップ 1.1.3.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x^{2})}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (5 x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (5 x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 5 x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 x^{2}$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.2.3

$u$ のすべての発生を $5 x^{2}$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.3

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{2}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x^{2}) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x^{2}) (5 (2 x))}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.5

$2$ に $5$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x^{2}) (10 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.6

$\cos (5 x^{2}) (10 x)$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to 0} \frac{10 x \cos (5 x^{2})}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{10 x \cos (5 x^{2})}{2 x}$

ステップ 1.4

約分します。

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ステップ 1.4.1

$10$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1.1

$2$ を $10 x \cos (5 x^{2})$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (5 x \cos (5 x^{2}))}{2 x}$

ステップ 1.4.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1.2.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (5 x \cos (5 x^{2}))}{2 (x)}$

ステップ 1.4.1.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (5 x \cos (5 x^{2}))}{2 x}$

ステップ 1.4.1.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{5 x \cos (5 x^{2})}{x}$

ステップ 1.4.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0} \frac{5 x \cos (5 x^{2})}{x}$

ステップ 1.4.2.2

$5 \cos (5 x^{2})$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x^{2})$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$5 lim_{x \to 0} \cos (5 x^{2})$

ステップ 2.2

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$5 \cos (lim_{x \to 0} 5 x^{2})$

ステップ 2.3

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$5 \cos (5 lim_{x \to 0} x^{2})$

ステップ 2.4

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$5 \cos (5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2})$

ステップ 3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$5 \cos (5 \cdot 0^{2})$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$5 \cos (5 \cdot 0)$

ステップ 4.2

$5$ に $0$ をかけます。

$5 \cos (0)$

ステップ 4.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$5 \cdot 1$

ステップ 4.4

$5$ に $1$ をかけます。

$5$

微分積分 例

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