微分積分例

$lim_{x \to 0} {\tan (2 x)}^{x}$

ステップ 1

対数の性質を利用して極限を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

${\tan (2 x)}^{x}$ を $e^{\ln ({\tan (2 x)}^{x})}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({\tan (2 x)}^{x})}$

ステップ 1.2

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({\tan (2 x)}^{x})$ を展開します。

$lim_{x \to 0} e^{x \ln (\tan (2 x))}$

ステップ 2

極限を左側極限として設定します。

$lim_{x \to 0^{-}} e^{x \ln (\tan (2 x))}$

ステップ 3

値を変数に代入して極限を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ を $0$ に代入し、 $e^{x \ln (\tan (2 x))}$ の極限値を求めます。

$e^{0 \ln (\tan (2 \cdot 0))}$

ステップ 3.2

$2$ に $0$ をかけます。

$e^{0 \ln (\tan (0))}$

ステップ 3.3

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$e^{0 \ln (0)}$

ステップ 3.4

$e^{0 \ln (0)}$ が未定義なので、極限はありません。

$存在しない$

ステップ 4

極限を右側極限として設定します。

$lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (\tan (2 x))}$

ステップ 5

右側極限を求めます。

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ステップ 5.1

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (\tan (2 x))}$

ステップ 5.2

$x \ln (\tan (2 x))$ を $\frac{\ln (\tan (2 x))}{\frac{1}{x}}$ に書き換えます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\tan (2 x))}{\frac{1}{x}}}$

ステップ 5.3

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 5.3.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\tan (2 x))}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

ステップ 5.3.1.2

$x$ が $0$ に右から近づくとき、 $\ln (\tan (2 x))$ は境界がなく減少します。

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

ステップ 5.3.1.3

$x$ が $0$ に右から近づくとき、分子が定数で分母が $0$ に近づくので、分数 $\frac{1}{x}$ は無限大に近づきます。

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

ステップ 5.3.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

ステップ 5.3.2

$\frac{- \infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\tan (2 x))}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\tan (2 x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 5.3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 5.3.3.1

分母と分子を微分します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\tan (2 x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \tan (2 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\tan (2 x)$ とします。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.3.2.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\tan (2 x)$ で置き換えます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\tan (2 x)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.3.3

正弦と余弦に関して $\tan (2 x)$ を書き換えます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.3.4

分数の逆数を掛け、 $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ で割ります。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.3.5

$1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.3.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.6.1

式を書き換えます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.3.6.2

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.3.7

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x$ とします。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.3.7.2

$u_{2}$ に関する $\tan (u_{2})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{2})$ です。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.3.7.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.3.8

$\sec^{2} (2 x)$ と $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.3.9

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.3.10

$2$ と $\frac{\sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 \sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.3.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 \sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.3.12

$\frac{2 \sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 \sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.3.13

簡約します。

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ステップ 5.3.3.13.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.3.13.1.1

正弦と余弦に関して $\sec (2 x)$ を書き換えます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 {(\frac{1}{\cos (2 x)})}^{2} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.3.13.1.2

積の法則を $\frac{1}{\cos (2 x)}$ に当てはめます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x)} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.3.13.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 \frac{1}{\cos^{2} (2 x)} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.3.13.1.4

$2$ と $\frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\frac{2}{\cos^{2} (2 x)} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.3.13.1.5

$\cos (2 x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.13.1.5.1

$\cos (2 x)$ を $\cos^{2} (2 x)$ で因数分解します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\frac{2}{\cos (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.3.13.1.5.2

共通因数を約分します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\frac{2}{\cos (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.3.13.1.5.3

式を書き換えます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\frac{2}{\cos (2 x)}}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.3.13.2

項をまとめます。

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ステップ 5.3.3.13.2.1

$\frac{\frac{2}{\cos (2 x)}}{\sin (2 x)}$ を積として書き換えます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.3.13.2.2

$\frac{2}{\cos (2 x)}$ に $\frac{1}{\sin (2 x)}$ をかけます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.3.14

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

ステップ 5.3.3.15

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}{- x^{- 2}}}$

ステップ 5.3.3.16

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 5.3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)} \cdot - 1 x^{2}}$

ステップ 5.3.5

$\frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{2 x^{2}}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}$

ステップ 5.4

極限を求めます。

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ステップ 5.4.1

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x^{2}}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}$

ステップ 5.4.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}$

ステップ 5.5

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 5.5.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x) \sin (2 x)}}$

ステップ 5.5.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 5.5.1.2.1

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$e^{- 2 \frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x) \sin (2 x)}}$

ステップ 5.5.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{- 2 \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x) \sin (2 x)}}$

ステップ 5.5.1.2.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$e^{- 2 \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x) \sin (2 x)}}$

ステップ 5.5.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.3.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$e^{- 2 \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}}$

ステップ 5.5.1.3.2

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0^{+}} 2 x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}}$

ステップ 5.5.1.3.3

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (2 lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}}$

ステップ 5.5.1.3.4

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (2 lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} 2 x)}}$

ステップ 5.5.1.3.5

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (2 lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

ステップ 5.5.1.3.6

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 5.5.1.3.6.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

ステップ 5.5.1.3.6.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}}$

ステップ 5.5.1.3.7

答えを簡約します。

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ステップ 5.5.1.3.7.1

$2$ に $0$ をかけます。

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}}$

ステップ 5.5.1.3.7.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$e^{- 2 \frac{0}{1 \cdot \sin (2 \cdot 0)}}$

ステップ 5.5.1.3.7.3

$\sin (2 \cdot 0)$ に $1$ をかけます。

$e^{- 2 \frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}}$

ステップ 5.5.1.3.7.4

$2$ に $0$ をかけます。

$e^{- 2 \frac{0}{\sin (0)}}$

ステップ 5.5.1.3.7.5

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$e^{- 2 (\frac{0}{0})}$

ステップ 5.5.1.3.7.6

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{- 2 (\frac{0}{0})}$

ステップ 5.5.1.3.8

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{- 2 (\frac{0}{0})}$

ステップ 5.5.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{- 2 (\frac{0}{0})}$

ステップ 5.5.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\cos (2 x) \sin (2 x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x) \sin (2 x)]}$

ステップ 5.5.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 5.5.3.1

分母と分子を微分します。

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x) \sin (2 x)]}}$

ステップ 5.5.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x) \sin (2 x)]}}$

ステップ 5.5.3.3

$f (x) = \cos (2 x)$ および $g (x) = \sin (2 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

ステップ 5.5.3.4

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos (2 x) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

ステップ 5.5.3.4.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos (2 x) \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

ステップ 5.5.3.4.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

ステップ 5.5.3.5

$\cos (2 x)$ を $1$ 乗します。

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{1} (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

ステップ 5.5.3.6

$\cos (2 x)$ を $1$ 乗します。

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

ステップ 5.5.3.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{{\cos (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

ステップ 5.5.3.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

ステップ 5.5.3.9

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{2} (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

ステップ 5.5.3.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{2} (2 x) \cdot 2 \cdot 1 + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

ステップ 5.5.3.11

$2$ に $1$ をかけます。

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{2} (2 x) \cdot 2 + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

ステップ 5.5.3.12

$2$ を $\cos^{2} (2 x)$ の左に移動させます。

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cdot \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

ステップ 5.5.3.13

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.13.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x$ とします。

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]}}$

ステップ 5.5.3.13.2

$u_{2}$ に関する $\cos (u_{2})$ の微分係数は $- \sin (u_{2})$ です。

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]}}$

ステップ 5.5.3.13.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}}$

ステップ 5.5.3.14

$\sin (2 x)$ を $1$ 乗します。

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{1} (2 x) \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}}$

ステップ 5.5.3.15

$\sin (2 x)$ を $1$ 乗します。

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}}$

ステップ 5.5.3.16

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - {\sin (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x]}}$

ステップ 5.5.3.17

$1$ と $1$ をたし算します。

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}}$

ステップ 5.5.3.18

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 5.5.3.19

$2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 5.5.3.20

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x) \cdot 1}}$

ステップ 5.5.3.21

$- 2$ に $1$ をかけます。

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x)}}$

ステップ 5.5.4

$2$ と $2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x)}}$

ステップ 5.5.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.2.1

$2$ を $2 \cos^{2} (2 x)$ で因数分解します。

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{2 (\cos^{2} (2 x)) - 2 \sin^{2} (2 x)}}$

ステップ 5.5.4.2.2

$2$ を $- 2 \sin^{2} (2 x)$ で因数分解します。

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{2 (\cos^{2} (2 x)) + 2 \cdot - 1 \sin^{2} (2 x)}}$

ステップ 5.5.4.2.3

$2$ を $2 (\cos^{2} (2 x)) + 2 (- \sin^{2} (2 x))$ で因数分解します。

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{2 (\cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x))}}$

ステップ 5.5.4.2.4

共通因数を約分します。

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 (\cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x))}}$

ステップ 5.5.4.2.5

式を書き換えます。

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{\cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x)}}$

ステップ 5.6

極限を求めます。

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ステップ 5.6.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x)}}$

ステップ 5.6.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (2 x) - lim_{x \to 0^{+}} \sin^{2} (2 x)}}$

ステップ 5.6.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\cos^{2} (2 x)$ から極限値外側に移動させます。

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{{(lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x))}^{2} - lim_{x \to 0^{+}} \sin^{2} (2 x)}}$

ステップ 5.6.4

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} 2 x) - lim_{x \to 0^{+}} \sin^{2} (2 x)}}$

ステップ 5.6.5

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x) - lim_{x \to 0^{+}} \sin^{2} (2 x)}}$

ステップ 5.6.6

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\sin^{2} (2 x)$ から極限値外側に移動させます。

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x) - {(lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x))}^{2}}}$

ステップ 5.6.7

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x) - \sin^{2} (lim_{x \to 0^{+}} 2 x)}}$

ステップ 5.6.8

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x) - \sin^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

ステップ 5.7

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{- 2 \frac{0}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x) - \sin^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

ステップ 5.7.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{- 2 \frac{0}{\cos^{2} (2 \cdot 0) - \sin^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

ステップ 5.7.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{- 2 \frac{0}{\cos^{2} (2 \cdot 0) - \sin^{2} (2 \cdot 0)}}$

ステップ 5.8

答えを簡約します。

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ステップ 5.8.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$e^{- 2 \frac{0}{\cos^{2} (0) - \sin^{2} (2 \cdot 0)}}$

ステップ 5.8.1.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$e^{- 2 \frac{0}{1^{2} - \sin^{2} (2 \cdot 0)}}$

ステップ 5.8.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$e^{- 2 \frac{0}{1 - \sin^{2} (2 \cdot 0)}}$

ステップ 5.8.1.4

$2$ に $0$ をかけます。

$e^{- 2 \frac{0}{1 - \sin^{2} (0)}}$

ステップ 5.8.1.5

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$e^{- 2 \frac{0}{1 - 0^{2}}}$

ステップ 5.8.1.6

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$e^{- 2 \frac{0}{1 - 0}}$

ステップ 5.8.1.7

$- 1$ に $0$ をかけます。

$e^{- 2 \frac{0}{1 + 0}}$

ステップ 5.8.1.8

$1$ と $0$ をたし算します。

$e^{- 2 (\frac{0}{1})}$

ステップ 5.8.2

$0$ を $1$ で割ります。

$e^{- 2 \cdot 0}$

ステップ 5.8.3

$- 2$ に $0$ をかけます。

$e^{0}$

ステップ 5.9

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$1$

ステップ 6

グラフの山または谷の点のいずれもない場合、極限はありません。

$存在しない$

微分積分 例

微分積分例