微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \sec (x)}{x}$

ステップ 1

三角関数の公式を当てはめます。

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ステップ 1.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \frac{1}{\cos (x)}}{x}$

ステップ 1.2

$\sin (x)$ と $\frac{1}{\cos (x)}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{x}$

ステップ 2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.2.1

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.3

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.2

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{1}$

ステップ 3.4

$\sec^{2} (x)$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)$

ステップ 4

極限を求めます。

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ステップ 4.1

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\sec^{2} (x)$ から極限値外側に移動させます。

${(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}$

ステップ 4.2

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\sec^{2} (lim_{x \to 0} x)$

ステップ 5

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\sec^{2} (0)$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$1^{2}$

ステップ 6.2

1のすべての数の累乗は1です。

$1$

微分積分 例

微分積分例