微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 3^{x}}{3^{x} - 1}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot 3^{x}}{lim_{x \to 0} 3^{x} - 1}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} 3^{x}}{lim_{x \to 0} 3^{x} - 1}$

ステップ 1.1.2.2

指数に極限を移動させます。

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot 3^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 3^{x} - 1}$

ステップ 1.1.2.3

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0 \cdot 3^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 3^{x} - 1}$

ステップ 1.1.2.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0 \cdot 3^{0}}{lim_{x \to 0} 3^{x} - 1}$

ステップ 1.1.2.4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 3^{x} - 1}$

ステップ 1.1.2.4.2

$0$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3^{x} - 1}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3^{x} - lim_{x \to 0} 1}$

ステップ 1.1.3.1.2

指数に極限を移動させます。

$\frac{0}{3^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

ステップ 1.1.3.1.3

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{3^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{3^{0} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{1 - 1}$

ステップ 1.1.3.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 3^{x}}{3^{x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot 3^{x}]}{\frac{d}{d x} [3^{x} - 1]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot 3^{x}]}{\frac{d}{d x} [3^{x} - 1]}$

ステップ 1.3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = 3^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d x} [3^{x}] + 3^{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3^{x} - 1]}$

ステップ 1.3.3

$a$ = $3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{x (3^{x} \ln (3)) + 3^{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3^{x} - 1]}$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{x (3^{x} \ln (3)) + 3^{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [3^{x} - 1]}$

ステップ 1.3.5

$3^{x}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{x (3^{x} \ln (3)) + 3^{x}}{\frac{d}{d x} [3^{x} - 1]}$

ステップ 1.3.6

簡約します。

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ステップ 1.3.6.1

項を並べ替えます。

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x} x \ln (3) + 3^{x}}{\frac{d}{d x} [3^{x} - 1]}$

ステップ 1.3.6.2

$3^{x} x \ln (3) + 3^{x}$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 3^{x} \ln (3) + 3^{x}}{\frac{d}{d x} [3^{x} - 1]}$

ステップ 1.3.7

総和則では、 $3^{x} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 3^{x} \ln (3) + 3^{x}}{\frac{d}{d x} [3^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.8

$a$ = $3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 3^{x} \ln (3) + 3^{x}}{3^{x} \ln (3) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.9

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 3^{x} \ln (3) + 3^{x}}{3^{x} \ln (3) + 0}$

ステップ 1.3.10

$3^{x} \ln (3)$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 3^{x} \ln (3) + 3^{x}}{3^{x} \ln (3)}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{\ln (3)}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{\ln (3)} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 3^{x} \ln (3) + 3^{x}}{3^{x}}$

ステップ 2.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot 3^{x} \ln (3) + 3^{x}}{lim_{x \to 0} 3^{x}}$

ステップ 2.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot 3^{x} \ln (3) + lim_{x \to 0} 3^{x}}{lim_{x \to 0} 3^{x}}$

ステップ 2.4

$\ln (3)$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{\ln (3) lim_{x \to 0} x \cdot 3^{x} + lim_{x \to 0} 3^{x}}{lim_{x \to 0} 3^{x}}$

ステップ 2.5

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{\ln (3) lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} 3^{x} + lim_{x \to 0} 3^{x}}{lim_{x \to 0} 3^{x}}$

ステップ 2.6

指数に極限を移動させます。

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{\ln (3) lim_{x \to 0} x \cdot 3^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} 3^{x}}{lim_{x \to 0} 3^{x}}$

ステップ 2.7

指数に極限を移動させます。

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{\ln (3) lim_{x \to 0} x \cdot 3^{lim_{x \to 0} x} + 3^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 3^{x}}$

ステップ 2.8

指数に極限を移動させます。

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{\ln (3) lim_{x \to 0} x \cdot 3^{lim_{x \to 0} x} + 3^{lim_{x \to 0} x}}{3^{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{\ln (3) \cdot 0 \cdot 3^{lim_{x \to 0} x} + 3^{lim_{x \to 0} x}}{3^{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{\ln (3) \cdot 0 \cdot 3^{0} + 3^{lim_{x \to 0} x}}{3^{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{\ln (3) \cdot 0 \cdot 3^{0} + 3^{0}}{3^{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.4

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{\ln (3) \cdot 0 \cdot 3^{0} + 3^{0}}{3^{0}}$

ステップ 4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\ln (3)$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{0 \cdot 3^{0} + 3^{0}}{3^{0}}$

ステップ 4.1.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{0 \cdot 1 + 3^{0}}{3^{0}}$

ステップ 4.1.3

$0$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{0 + 3^{0}}{3^{0}}$

ステップ 4.1.4

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{0 + 1}{3^{0}}$

ステップ 4.1.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{1}{3^{0}}$

ステップ 4.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{1}{1}$

ステップ 4.3

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{1}{1}$

ステップ 4.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot 1$

ステップ 4.4

$\frac{1}{\ln (3)}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\ln (3)}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{\ln (3)}$

10進法形式：

$0.91023922 \dots$

微分積分 例

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