微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{4 x}$

ステップ 1

$\frac{1}{4}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.3

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.2

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{1}$

ステップ 2.4

$\sec^{2} (x)$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)$

ステップ 3

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\sec^{2} (x)$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}$

ステップ 3.2

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{4} \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)$

ステップ 4

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} \sec^{2} (0)$

ステップ 5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{4} \cdot 1^{2}$

ステップ 5.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{4} \cdot 1$

ステップ 5.3

$\frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{4}$

10進法形式：

$0.25$

微分積分 例

微分積分例