微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 3 \sin (x)}{5 x}$

ステップ 1

$\frac{1}{5}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{2 x - 3 \sin (x)}{x}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 2 x - 3 \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 3 \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 3 \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.3

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x - 3 lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.4

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x - 3 \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.5

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 2.1.2.5.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 \cdot 0 - 3 \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.5.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 \cdot 0 - 3 \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.6

答えを簡約します。

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ステップ 2.1.2.6.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.2.6.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 - 3 \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.6.1.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.6.1.3

$- 3$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.6.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 3 \sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $2 x - 3 \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ です。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{2 + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.4

$\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.4.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 \sin (x)$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{2 - 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.4.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{2 - 3 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{2 - 3 \cos (x)}{1}$

ステップ 2.4

$2 - 3 \cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} 2 - 3 \cos (x)$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{5} (lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} 3 \cos (x))$

ステップ 3.2

$x$ が $0$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{5} (2 - lim_{x \to 0} 3 \cos (x))$

ステップ 3.3

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{5} (2 - 3 lim_{x \to 0} \cos (x))$

ステップ 3.4

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{5} (2 - 3 \cos (lim_{x \to 0} x))$

ステップ 4

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{5} (2 - 3 \cos (0))$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{5} (2 - 3 \cdot 1)$

ステップ 5.1.2

$- 3$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{5} (2 - 3)$

ステップ 5.2

$2$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{5} \cdot - 1$

ステップ 5.3

$\frac{1}{5}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{- 1}{5}$

ステップ 5.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{5}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{1}{5}$

10進法形式：

$- 0.2$

微分積分 例

微分積分例