微分積分例

$lim_{x \to 0} (x^{2}) \csc^{2} (x)$

ステップ 1

$(x^{2}) \csc^{2} (x)$ を $\frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$

ステップ 2

極限を左側極限として設定します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$

ステップ 3

左側極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0^{-}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

ステップ 3.1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.2.1

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

ステップ 3.1.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

ステップ 3.1.1.2.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

ステップ 3.1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc^{2} (x)}}$

ステップ 3.1.1.3.2

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{\csc^{2} (x)}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.1.1.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (x)} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 3.1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 3.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 3.1.3.3

$f (x) = x^{- 2}$ および $g (x) = \csc (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\csc (x)$ とします。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

ステップ 3.1.3.3.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

ステップ 3.1.3.3.3

$u$ のすべての発生を $\csc (x)$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

ステップ 3.1.3.4

$x$ に関する $\csc (x)$ の微分係数は $- \csc (x) \cot (x)$ です。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (x) (- \csc (x) \cot (x))}$

ステップ 3.1.3.5

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 3} (x) (\csc (x) \cot (x))}$

ステップ 3.1.3.6

$\csc (x)$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 (\csc^{1} (x) \csc^{- 3} (x)) \cot (x)}$

ステップ 3.1.3.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 {\csc (x)}^{1 - 3} \cot (x)}$

ステップ 3.1.3.8

$1$ から $3$ を引きます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (x) \cot (x)}$

ステップ 3.1.3.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.9.1

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{- 2} \cot (x)}$

ステップ 3.1.3.9.2

底を逆数に書き換えて、指数の符号を変更します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \sin^{2} (x) \cot (x)}$

ステップ 3.1.3.9.3

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \sin^{2} (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

ステップ 3.1.3.9.4

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.9.4.1

$\sin (x)$ を $2 \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

ステップ 3.1.3.9.4.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

ステップ 3.1.3.9.4.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \sin (x) \cos (x)}$

ステップ 3.1.3.9.5

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (2 x)}$

ステップ 3.2

$x$ が $0$ に近づく $\frac{2 x}{\sin (2 x)}$ の極限値は $1$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0^{-}} 2 x}{lim_{x \to 0^{-}} \sin (2 x)}$

ステップ 3.2.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.1

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 lim_{x \to 0^{-}} x}{lim_{x \to 0^{-}} \sin (2 x)}$

ステップ 3.2.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2 \cdot 0}{lim_{x \to 0^{-}} \sin (2 x)}$

ステップ 3.2.1.2.3

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \sin (2 x)}$

ステップ 3.2.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.3.1.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0^{-}} 2 x)}$

ステップ 3.2.1.3.1.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{\sin (2 lim_{x \to 0^{-}} x)}$

ステップ 3.2.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

ステップ 3.2.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.3.3.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{\sin (0)}$

ステップ 3.2.1.3.3.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.2.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.2.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (2 x)} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 3.2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 3.2.3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 3.2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 3.2.3.4

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 3.2.3.5

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

ステップ 3.2.3.5.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

ステップ 3.2.3.5.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

ステップ 3.2.3.6

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

ステップ 3.2.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}$

ステップ 3.2.3.8

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\cos (2 x) \cdot 2}$

ステップ 3.2.3.9

$2$ を $\cos (2 x)$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{2 \cos (2 x)}$

ステップ 3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{2 \cos (2 x)}$

ステップ 3.2.4.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\cos (2 x)}$

ステップ 3.2.5

$\frac{1}{\cos (2 x)}$ を $\sec (2 x)$ に変換します。

$lim_{x \to 0^{-}} \sec (2 x)$

ステップ 3.2.6

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.6.1

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\sec (lim_{x \to 0^{-}} 2 x)$

ステップ 3.2.6.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\sec (2 lim_{x \to 0^{-}} x)$

ステップ 3.2.7

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\sec (2 \cdot 0)$

ステップ 3.2.8

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.8.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\sec (0)$

ステップ 3.2.8.2

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$1$

ステップ 4

極限を右側極限として設定します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$

ステップ 5

右側極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

ステップ 5.1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.2.1

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

ステップ 5.1.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

ステップ 5.1.1.2.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

ステップ 5.1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc^{2} (x)}}$

ステップ 5.1.1.3.2

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{\csc^{2} (x)}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 5.1.1.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 5.1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 5.1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 5.1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 5.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 5.1.3.3

$f (x) = x^{- 2}$ および $g (x) = \csc (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\csc (x)$ とします。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

ステップ 5.1.3.3.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

ステップ 5.1.3.3.3

$u$ のすべての発生を $\csc (x)$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

ステップ 5.1.3.4

$x$ に関する $\csc (x)$ の微分係数は $- \csc (x) \cot (x)$ です。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (x) (- \csc (x) \cot (x))}$

ステップ 5.1.3.5

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 3} (x) (\csc (x) \cot (x))}$

ステップ 5.1.3.6

$\csc (x)$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 (\csc^{1} (x) \csc^{- 3} (x)) \cot (x)}$

ステップ 5.1.3.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 {\csc (x)}^{1 - 3} \cot (x)}$

ステップ 5.1.3.8

$1$ から $3$ を引きます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (x) \cot (x)}$

ステップ 5.1.3.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.9.1

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{- 2} \cot (x)}$

ステップ 5.1.3.9.2

底を逆数に書き換えて、指数の符号を変更します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \sin^{2} (x) \cot (x)}$

ステップ 5.1.3.9.3

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \sin^{2} (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

ステップ 5.1.3.9.4

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.9.4.1

$\sin (x)$ を $2 \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

ステップ 5.1.3.9.4.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

ステップ 5.1.3.9.4.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \sin (x) \cos (x)}$

ステップ 5.1.3.9.5

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (2 x)}$

ステップ 5.2

$x$ が $0$ に近づく $\frac{2 x}{\sin (2 x)}$ の極限値は $1$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} 2 x}{lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}$

ステップ 5.2.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.2.1

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}$

ステップ 5.2.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2 \cdot 0}{lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}$

ステップ 5.2.1.2.3

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}$

ステップ 5.2.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.3.1.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0^{+}} 2 x)}$

ステップ 5.2.1.3.1.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{\sin (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}$

ステップ 5.2.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

ステップ 5.2.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.3.3.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{\sin (0)}$

ステップ 5.2.1.3.3.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{0}$

ステップ 5.2.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 5.2.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 5.2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 5.2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (2 x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 5.2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 5.2.3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 5.2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 5.2.3.4

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 5.2.3.5

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

ステップ 5.2.3.5.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

ステップ 5.2.3.5.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

ステップ 5.2.3.6

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

ステップ 5.2.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}$

ステップ 5.2.3.8

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\cos (2 x) \cdot 2}$

ステップ 5.2.3.9

$2$ を $\cos (2 x)$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{2 \cos (2 x)}$

ステップ 5.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.4.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{2 \cos (2 x)}$

ステップ 5.2.4.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cos (2 x)}$

ステップ 5.2.5

$\frac{1}{\cos (2 x)}$ を $\sec (2 x)$ に変換します。

$lim_{x \to 0^{+}} \sec (2 x)$

ステップ 5.2.6

極限を求めます。

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ステップ 5.2.6.1

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\sec (lim_{x \to 0^{+}} 2 x)$

ステップ 5.2.6.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\sec (2 lim_{x \to 0^{+}} x)$

ステップ 5.2.7

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\sec (2 \cdot 0)$

ステップ 5.2.8

答えを簡約します。

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ステップ 5.2.8.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\sec (0)$

ステップ 5.2.8.2

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$1$

ステップ 6

左側極限が右側極限に等しいので、極限は $1$ に等しいです。

$1$

微分積分 例

微分積分例