微分積分例

$\int_{0}^{\infty} e^{- 2 x} d x$

ステップ 1

$t$ が $\infty$ に近づくときの、積分を極限として書きます。

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} e^{- 2 x} d x$

ステップ 2

$u = - 2 x$ とします。次に $d u = - 2 d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = - 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$- 2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 2.1.2

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \cdot 1$

ステップ 2.1.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2$

ステップ 2.2

$u = - 2 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - 2 \cdot 0$

ステップ 2.3

$- 2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 2.4

$u = - 2 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = - 2 t$

ステップ 2.5

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2 t$

ステップ 2.6

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

ステップ 3.2

$e^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- 2 t} - \frac{e^{u}}{2} d u$

ステップ 4

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{- 2 t} \frac{e^{u}}{2} d u$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$lim_{t \to \infty} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} d u)$

ステップ 6

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} e^{u}]_{0}^{- 2 t}$

ステップ 7

$e^{u}]_{0}^{- 2 t}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2 t}}{2}$

ステップ 8

代入し簡約します。

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ステップ 8.1

$- 2 t$ および $0$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$lim_{t \to \infty} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{2}$

ステップ 8.2

簡約します。

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ステップ 8.2.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- 2 t} - 1 \cdot 1}{2}$

ステップ 8.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- 2 t} - 1}{2}$

ステップ 9

極限を求めます。

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ステップ 9.1

極限を求めます。

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ステップ 9.1.1

$- 1$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- lim_{t \to \infty} \frac{e^{- 2 t} - 1}{2}$

ステップ 9.1.2

$\frac{1}{2}$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - 1$

ステップ 9.1.3

$t$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

ステップ 9.2

指数 $- 2 t$ が $- \infty$ に近づくので、数 $e^{- 2 t}$ が $0$ に近づきます。

$- \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

ステップ 9.3

極限を求めます。

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ステップ 9.3.1

$t$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

ステップ 9.3.2

答えを簡約します。

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ステップ 9.3.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{2} (0 - 1)$

ステップ 9.3.2.2

$0$ から $1$ を引きます。

$- \frac{1}{2} \cdot - 1$

ステップ 9.3.2.3

$- \frac{1}{2} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 9.3.2.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\frac{1}{2})$

ステップ 9.3.2.3.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{2}$

10進法形式：

$0.5$

微分積分 例

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