微分積分例

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x^{2})}{x^{2} - 1}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (x^{2})}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.2.1.1

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} x^{2})}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.2.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{\ln ({(lim_{x \to 1} x)}^{2})}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\ln (1^{2})}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.2.3.2

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

ステップ 1.1.3.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

ステップ 1.1.3.1.3

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{1 - 1}$

ステップ 1.1.3.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x^{2})}{x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{2}} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3.4

$2$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3.5

$\frac{2}{x^{2}}$ と $x$ をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3.6

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.6.1

$x$ を $2 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x \cdot 2}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.6.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3.6.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3.6.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3.7

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{x}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.9

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{x}}{2 x + 0}$

ステップ 1.3.10

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{x}}{2 x}$

ステップ 1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 1} \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2 x}$

ステップ 1.5

因数をまとめます。

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ステップ 1.5.1

$\frac{2}{x}$ に $\frac{1}{2 x}$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{2}{x (2 x)}$

ステップ 1.5.2

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 1} \frac{2}{2 (x^{1} x)}$

ステップ 1.5.3

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 1} \frac{2}{2 (x^{1} x^{1})}$

ステップ 1.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to 1} \frac{2}{2 x^{1 + 1}}$

ステップ 1.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{2}{2 x^{2}}$

ステップ 1.6

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 1} \frac{2}{2 x^{2}}$

ステップ 1.6.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{2}}$

ステップ 2.2

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x^{2}}$

ステップ 2.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

ステップ 3

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{1^{2}}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{1}$

ステップ 4.2

$1$ を $1$ で割ります。

$1$

微分積分 例

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