微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{3 x} + \frac{2 x}{\tan (4 x)}$

ステップ 1

極限を求めます。

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ステップ 1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{3 x} + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\tan (4 x)}$

ステップ 1.2

$\frac{1}{3}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\tan (4 x)}$

ステップ 2

$\cos (x) \leq \frac{\sin (x)}{x} \leq 1$ と $lim_{x \to 0} \cos (x) = lim_{x \to 0} 1 = 1$ なので、はさみうちの原理を当てはめます。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\tan (4 x)}$

ステップ 3

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (4 x)}$

ステップ 4

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 4.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 4.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \tan (4 x)}$

ステップ 4.1.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (4 x)}$

ステップ 4.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

極限を求めます。

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ステップ 4.1.3.1.1

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} 4 x)}$

ステップ 4.1.3.1.2

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{\tan (4 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 4.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{\tan (4 \cdot 0)}$

ステップ 4.1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 4.1.3.3.1

$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{\tan (0)}$

ステップ 4.1.3.3.2

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{0}{0})$

ステップ 4.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{0}{0})$

ステップ 4.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{0}{0})$

ステップ 4.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{0}{0})$

ステップ 4.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (4 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (4 x)]}$

ステップ 4.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 4.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (4 x)]}$

ステップ 4.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\tan (4 x)]}$

ステップ 4.3.3

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x$ とします。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [4 x]}$

ステップ 4.3.3.2

$u$ に関する $\tan (u)$ の微分係数は $\sec^{2} (u)$ です。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [4 x]}$

ステップ 4.3.3.3

$u$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]}$

ステップ 4.3.4

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x) \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x) \cdot 4 \cdot 1}$

ステップ 4.3.6

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x) \cdot 4}$

ステップ 4.3.7

$4$ を $\sec^{2} (4 x)$ の左に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 \sec^{2} (4 x)}$

ステップ 5

極限を求めます。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{4}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x)}$

ステップ 5.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (4 x)}$

ステップ 5.3

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (4 x)}$

ステップ 5.4

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\sec^{2} (4 x)$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{{(lim_{x \to 0} \sec (4 x))}^{2}}$

ステップ 5.5

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} 4 x)}$

ステップ 5.6

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\sec^{2} (4 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 6

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

ステップ 7.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} + 2 \frac{1}{2 (2)} \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

ステップ 7.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} + 2 \frac{1}{2 \cdot 2} \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

ステップ 7.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

ステップ 7.1.3

まとめる。

$\frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 1}{2 \sec^{2} (4 \cdot 0)}$

ステップ 7.1.4

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2 \sec^{2} (4 \cdot 0)}$

ステップ 7.1.5

分母を簡約します。

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ステップ 7.1.5.1

$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2 \sec^{2} (0)}$

ステップ 7.1.5.2

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}$

ステップ 7.1.5.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.6

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2}$

ステップ 7.2

$\frac{1}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 7.3

$\frac{1}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 7.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $6$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 7.4.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 7.4.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 7.4.3

$\frac{1}{2}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}$

ステップ 7.4.4

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{2}{6} + \frac{3}{6}$

ステップ 7.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 + 3}{6}$

ステップ 7.6

$2$ と $3$ をたし算します。

$\frac{5}{6}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{5}{6}$

10進法形式：

$0.8\overline{3}$

微分積分 例

微分積分例