微分積分例

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{1 - x}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

ステップ 1.1.2.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 1} x}$

ステップ 1.1.3.3

式を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1 - 1}$

ステップ 1.1.3.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{1 - x} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

ステップ 1.3.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

ステップ 1.3.3

総和則では、 $1 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 1.3.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{0 + \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 1.3.5

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.5.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{0 - \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{0 - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.3.5.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{0 - 1}$

ステップ 1.3.6

$0$ から $1$ を引きます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{- 1}$

ステップ 1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{- 1}$

ステップ 1.5

$\frac{1}{x}$ に $\frac{1}{- 1}$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x \cdot - 1}$

ステップ 1.6

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{- 1 (- 1)}{x \cdot - 1}$

ステップ 1.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{x}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- lim_{x \to 1} \frac{1}{x}$

ステップ 2.2

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$- \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}$

ステップ 2.3

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{lim_{x \to 1} x}$

ステップ 3

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{1}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{1}$

ステップ 4.1.2

式を書き換えます。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 4.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

微分積分 例

微分積分例