微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x)}{\sin (x)}$

ステップ 1

三角関数の公式を当てはめます。

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ステップ 1.1

正弦と余弦に関して $\tan (2 x)$ を書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\sin (x)}$

ステップ 1.2

$\frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\sin (x)}$ を積として書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ を $\tan (2 x)$ に変換します。

$lim_{x \to 0} \tan (2 x) \frac{1}{\sin (x)}$

ステップ 1.3.2

$\frac{1}{\sin (x)}$ を $\csc (x)$ に変換します。

$lim_{x \to 0} \tan (2 x) \csc (x)$

ステップ 2

左側極限を考えます。

$lim_{x \to 0^{-}} \tan (2 x) \csc (x)$

ステップ 3

表を作り、 $x$ が左から $0$ に近づくときの関数 $\tan (2 x) \csc (x)$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & \tan (2 x) \csc (x) \\ - 0.1 & 2.0304828 \\ - 0.01 & 2.00030004 \\ - 0.001 & 2.000003 \end{array}$

ステップ 4

$x$ 値が $0$ に近づくので、関数の値は $2$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が左から $0$ に近づくときの $\tan (2 x) \csc (x)$ の極限は $2$ です。

$2$

ステップ 5

右側極限を考えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \tan (2 x) \csc (x)$

ステップ 6

表を作り、 $x$ が右から $0$ に近づくときの関数 $\tan (2 x) \csc (x)$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & \tan (2 x) \csc (x) \\ 0.1 & 2.0304828 \\ 0.01 & 2.00030004 \\ 0.001 & 2.000003 \end{array}$

ステップ 7

$x$ 値が $0$ に近づくので、関数の値は $2$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が右から $0$ に近づくときの $\tan (2 x) \csc (x)$ の極限は $2$ です。

$2$

微分積分 例