微分積分例

$lim_{x \to 1} \frac{x^{a} - 1}{x^{b} - 1}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 1} x^{a} - 1}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 1} x^{a} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

ステップ 1.1.2.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $a$ を $x^{a}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{a} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

ステップ 1.1.2.1.3

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{a} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1^{a} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

ステップ 1.1.2.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{b} - lim_{x \to 1} 1}$

ステップ 1.1.3.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $b$ を $x^{b}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{b} - lim_{x \to 1} 1}$

ステップ 1.1.3.1.3

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{b} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1^{b} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{1 - 1}$

ステップ 1.1.3.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{a} - 1}{x^{b} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{a} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{a} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $x^{a} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{a}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{a}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

ステップ 1.3.3

$n = a$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

ステップ 1.3.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

ステップ 1.3.5

簡約します。

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ステップ 1.3.5.1

$a x^{a - 1}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

ステップ 1.3.5.2

$a x^{a - 1}$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{a - 1} a}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

ステップ 1.3.5.3

$x^{a - 1} a$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $x^{b} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{b}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{\frac{d}{d x} [x^{b}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.7

$n = b$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{b x^{b - 1} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.8

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{b x^{b - 1} + 0}$

ステップ 1.3.9

簡約します。

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ステップ 1.3.9.1

$b x^{b - 1}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{b x^{b - 1}}$

ステップ 1.3.9.2

$b x^{b - 1}$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{x^{b - 1} b}$

ステップ 1.3.9.3

$x^{b - 1} b$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{b x^{b - 1}}$

ステップ 1.4

$x^{a - 1}$ と $x^{b - 1}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

$x^{b - 1}$ を $a x^{a - 1}$ で因数分解します。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{b - 1} (a x^{a - 1 - (b - 1)})}{b x^{b - 1}}$

ステップ 1.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.1

$x^{b - 1}$ を $b x^{b - 1}$ で因数分解します。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{b - 1} (a x^{a - 1 - (b - 1)})}{x^{b - 1} b}$

ステップ 1.4.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{b - 1} (a x^{a - 1 - (b - 1)})}{x^{b - 1} b}$

ステップ 1.4.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1 - (b - 1)}}{b}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{a}{b}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{a}{b} lim_{x \to 1} x^{a - 1 - (b - 1)}$

ステップ 2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $a - 1 - (b - 1)$ を $x^{a - 1 - (b - 1)}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{a}{b} {(lim_{x \to 1} x)}^{a - 1 - (b - 1)}$

ステップ 3

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{a}{b} \cdot 1^{a - 1 - (b - 1)}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{a}{b} \cdot 1^{a - 1 - b - - 1}$

ステップ 4.1.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{a}{b} \cdot 1^{a - 1 - b + 1}$

ステップ 4.2

$a - 1 - b + 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.2.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{a}{b} \cdot 1^{a - b + 0}$

ステップ 4.2.2

$a - b$ と $0$ をたし算します。

$\frac{a}{b} \cdot 1^{a - b}$

ステップ 4.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{a}{b} \cdot 1$

ステップ 4.4

$\frac{a}{b}$ に $1$ をかけます。

$\frac{a}{b}$

微分積分 例

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