微分積分例

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x + \ln (x)}{1 + \cos (5 π x)}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - x + \ln (x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

ステップ 1.1.2.3

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{1 - lim_{x \to 1} x + \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

ステップ 1.1.2.4

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - 1 + \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

ステップ 1.1.2.4.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - 1 + \ln (1)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

ステップ 1.1.2.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

ステップ 1.1.2.5.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

ステップ 1.1.2.5.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 + lim_{x \to 1} \cos (5 π x)}$

ステップ 1.1.3.1.2

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1 + lim_{x \to 1} \cos (5 π x)}$

ステップ 1.1.3.1.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{1 + \cos (lim_{x \to 1} 5 π x)}$

ステップ 1.1.3.1.4

$5 π$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{1 + \cos (5 π lim_{x \to 1} x)}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1 + \cos (5 π \cdot 1)}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.1

$5$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{1 + \cos (5 π)}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\frac{0}{1 + \cos (π)}$

ステップ 1.1.3.3.1.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

ステップ 1.1.3.3.1.4

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{1 - 1}$

ステップ 1.1.3.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x + \ln (x)}{1 + \cos (5 π x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x + \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x + \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $1 - x + \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

ステップ 1.3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

ステップ 1.3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

ステップ 1.3.4.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

ステップ 1.3.5

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 1 + \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

ステップ 1.3.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1

$0$ から $1$ を引きます。

$lim_{x \to 1} \frac{- 1 + \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

ステップ 1.3.6.2

項を並べ替えます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

ステップ 1.3.7

総和則では、 $1 + \cos (5 π x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (5 π x)]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (5 π x)]}$

ステップ 1.3.8

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 + \frac{d}{d x} [\cos (5 π x)]}$

ステップ 1.3.9

$\frac{d}{d x} [\cos (5 π x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.9.1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 5 π x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.9.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 π x$ とします。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [5 π x]}$

ステップ 1.3.9.1.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (u) \frac{d}{d x} [5 π x]}$

ステップ 1.3.9.1.3

$u$ のすべての発生を $5 π x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [5 π x]}$

ステップ 1.3.9.2

$5 π$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 π x$ の微分係数は $5 π \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (5 π x) (5 π \frac{d}{d x} [x])}$

ステップ 1.3.9.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (5 π x) (5 π \cdot 1)}$

ステップ 1.3.9.4

$5$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (5 π x) (5 π)}$

ステップ 1.3.9.5

$5$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - 5 \sin (5 π x) π}$

ステップ 1.3.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.10.1

$0$ から $5 \sin (5 π x) π$ を引きます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{- 5 \sin (5 π x) π}$

ステップ 1.3.10.2

$- 5 \sin (5 π x) π$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{- 5 π \sin (5 π x)}$

ステップ 1.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x}}{- 5 π \sin (5 π x)}$

ステップ 1.4.2

$- 1$ と $\frac{x}{x}$ をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} + \frac{- x}{x}}{- 5 π \sin (5 π x)}$

ステップ 1.4.3

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1 - x}{x}}{- 5 π \sin (5 π x)}$

ステップ 2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{1}{- 5 π}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{\frac{1 - x}{x}}{\sin (5 π x)}$

ステップ 2.2

極限の独立変数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{x} \cdot \frac{1}{\sin (5 π x)}$

ステップ 2.2.2

$\frac{1 - x}{x}$ に $\frac{1}{\sin (5 π x)}$ をかけます。

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{x \sin (5 π x)}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1 - x}{lim_{x \to 1} x \sin (5 π x)}$

ステップ 3.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} x \sin (5 π x)}$

ステップ 3.1.2.2

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{1 - lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} x \sin (5 π x)}$

ステップ 3.1.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.3.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x \sin (5 π x)}$

ステップ 3.1.2.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x \sin (5 π x)}$

ステップ 3.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

ステップ 3.1.3.2

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot \sin (lim_{x \to 1} 5 π x)}$

ステップ 3.1.3.3

$5 π$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot \sin (5 π lim_{x \to 1} x)}$

ステップ 3.1.3.4

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.4.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{1 \cdot \sin (5 π lim_{x \to 1} x)}$

ステップ 3.1.3.4.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{1 \cdot \sin (5 π \cdot 1)}$

ステップ 3.1.3.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.5.1

$\sin (5 π \cdot 1)$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{\sin (5 π \cdot 1)}$

ステップ 3.1.3.5.2

$5$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{\sin (5 π)}$

ステップ 3.1.3.5.3

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{\sin (π)}$

ステップ 3.1.3.5.4

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

ステップ 3.1.3.5.5

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 3.1.3.5.6

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 3.1.3.6

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{x \sin (5 π x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

ステップ 3.3.2

総和則では、 $1 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

ステップ 3.3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

ステップ 3.3.4

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

ステップ 3.3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

ステップ 3.3.4.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

ステップ 3.3.5

$0$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

ステップ 3.3.6

$f (x) = x$ および $g (x) = \sin (5 π x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \frac{d}{d x} [\sin (5 π x)] + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.7

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 5 π x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 π x$ とします。

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 π x] + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.7.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cos (u) \frac{d}{d x} [5 π x] + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.7.3

$u$ のすべての発生を $5 π x$ で置き換えます。

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cos (5 π x) \frac{d}{d x} [5 π x] + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.8

$5 π$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 π x$ の微分係数は $5 π \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cos (5 π x) \cdot 5 π \frac{d}{d x} [x] + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cos (5 π x) \cdot 5 π \cdot 1 + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.10

$5$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cos (5 π x) \cdot 5 π + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.11

$5$ を $\cos (5 π x)$ の左に移動させます。

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cdot 5 \cdot \cos (5 π x) π + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cdot 5 \cos (5 π x) π + \sin (5 π x) \cdot 1}$

ステップ 3.3.13

$\sin (5 π x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cdot 5 \cos (5 π x) π + \sin (5 π x)}$

ステップ 3.3.14

項を並べ替えます。

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{5 π x \cos (5 π x) + \sin (5 π x)}$

ステップ 4

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} - 1}{lim_{x \to 1} 5 π x \cos (5 π x) + \sin (5 π x)}$

ステップ 4.2

$x$ が $1$ に近づくと定数である $- 1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 1} 5 π x \cos (5 π x) + \sin (5 π x)}$

ステップ 4.3

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 1} 5 π x \cos (5 π x) + lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

ステップ 4.4

$5 π$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π lim_{x \to 1} x \cos (5 π x) + lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

ステップ 4.5

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \cos (5 π x) + lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

ステップ 4.6

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π lim_{x \to 1} x \cdot \cos (lim_{x \to 1} 5 π x) + lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

ステップ 4.7

$5 π$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π lim_{x \to 1} x \cdot \cos (5 π lim_{x \to 1} x) + lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

ステップ 4.8

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π lim_{x \to 1} x \cdot \cos (5 π lim_{x \to 1} x) + \sin (lim_{x \to 1} 5 π x)}$

ステップ 4.9

$5 π$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π lim_{x \to 1} x \cdot \cos (5 π lim_{x \to 1} x) + \sin (5 π lim_{x \to 1} x)}$

ステップ 5

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot 1 \cdot \cos (5 π lim_{x \to 1} x) + \sin (5 π lim_{x \to 1} x)}$

ステップ 5.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot 1 \cdot \cos (5 π \cdot 1) + \sin (5 π lim_{x \to 1} x)}$

ステップ 5.3

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot 1 \cdot \cos (5 π \cdot 1) + \sin (5 π \cdot 1)}$

ステップ 6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot 1 \cdot \cos (5 π \cdot 1) + \sin (5 π \cdot 1)}$

ステップ 6.2

分母を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$5$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot \cos (5 π \cdot 1) + \sin (5 π \cdot 1)}$

ステップ 6.2.2

$5$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot \cos (5 π) + \sin (5 π \cdot 1)}$

ステップ 6.2.3

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot \cos (π) + \sin (5 π \cdot 1)}$

ステップ 6.2.4

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot (- \cos (0)) + \sin (5 π \cdot 1)}$

ステップ 6.2.5

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot (- 1 \cdot 1) + \sin (5 π \cdot 1)}$

ステップ 6.2.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot - 1 + \sin (5 π \cdot 1)}$

ステップ 6.2.7

$- 1$ に $5$ をかけます。

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{- 5 π + \sin (5 π \cdot 1)}$

ステップ 6.2.8

$5$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{- 5 π + \sin (5 π)}$

ステップ 6.2.9

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{- 5 π + \sin (π)}$

ステップ 6.2.10

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{- 5 π + \sin (0)}$

ステップ 6.2.11

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{- 5 π + 0}$

ステップ 6.2.12

$- 5 π$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{- 5 π}$

ステップ 6.3

2つの負の値を割ると正の値になります。

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{5 π}$

ステップ 6.4

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{5 π}$ を掛けます。

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ステップ 6.4.1

$\frac{1}{5 π}$ に $\frac{1}{5 π}$ をかけます。

$- \frac{1}{5 π (5 π)}$

ステップ 6.4.2

$5$ に $5$ をかけます。

$- \frac{1}{25 π π}$

ステップ 6.4.3

$π$ を $1$ 乗します。

$- \frac{1}{25 (π^{1} π)}$

ステップ 6.4.4

$π$ を $1$ 乗します。

$- \frac{1}{25 (π^{1} π^{1})}$

ステップ 6.4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{1}{25 π^{1 + 1}}$

ステップ 6.4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{1}{25 π^{2}}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{1}{25 π^{2}}$

10進法形式：

$- 0.00405284 \dots$

微分積分 例

微分積分例