微分積分例

$lim_{x \to 1} \frac{{(10 x - 5)}^{2} - 25}{5 x - 5}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 1} {(10 x - 5)}^{2} - 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 1} {(10 x - 5)}^{2} - lim_{x \to 1} 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

ステップ 1.1.2.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を ${(10 x - 5)}^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 1} 10 x - 5)}^{2} - lim_{x \to 1} 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

ステップ 1.1.2.1.3

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{{(lim_{x \to 1} 10 x - lim_{x \to 1} 5)}^{2} - lim_{x \to 1} 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

ステップ 1.1.2.1.4

$10$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{{(10 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 5)}^{2} - lim_{x \to 1} 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

ステップ 1.1.2.1.5

$x$ が $1$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$\frac{{(10 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 5)}^{2} - lim_{x \to 1} 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

ステップ 1.1.2.1.6

$x$ が $1$ に近づくと定数である $25$ の極限値を求めます。

$\frac{{(10 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 5)}^{2} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{{(10 \cdot 1 - 1 \cdot 5)}^{2} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1.1

$10$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(10 - 1 \cdot 5)}^{2} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

ステップ 1.1.2.3.1.1.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{{(10 - 5)}^{2} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$10$ から $5$ を引きます。

$\frac{5^{2} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{25 - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

ステップ 1.1.2.3.1.4

$- 1$ に $25$ をかけます。

$\frac{25 - 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

ステップ 1.1.2.3.2

$25$ から $25$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 5 x - lim_{x \to 1} 5}$

ステップ 1.1.3.1.2

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{5 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 5}$

ステップ 1.1.3.1.3

$x$ が $1$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{5 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 5}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{5 \cdot 1 - 1 \cdot 5}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.1

$5$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{5 - 1 \cdot 5}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{0}{5 - 5}$

ステップ 1.1.3.3.2

$5$ から $5$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 1} \frac{{(10 x - 5)}^{2} - 25}{5 x - 5} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [{(10 x - 5)}^{2} - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [{(10 x - 5)}^{2} - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

ステップ 1.3.2

${(10 x - 5)}^{2}$ を $(10 x - 5) (10 x - 5)$ に書き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [(10 x - 5) (10 x - 5) - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

ステップ 1.3.3

分配法則（FOIL法）を使って $(10 x - 5) (10 x - 5)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [10 x (10 x - 5) - 5 (10 x - 5) - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

ステップ 1.3.3.2

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [10 x (10 x) + 10 x \cdot - 5 - 5 (10 x - 5) - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

ステップ 1.3.3.3

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [10 x (10 x) + 10 x \cdot - 5 - 5 (10 x) - 5 \cdot - 5 - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

ステップ 1.3.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [10 \cdot 10 x \cdot x + 10 x \cdot - 5 - 5 (10 x) - 5 \cdot - 5 - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

ステップ 1.3.4.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1.2.1

$x$ を移動させます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [10 \cdot 10 (x \cdot x) + 10 x \cdot - 5 - 5 (10 x) - 5 \cdot - 5 - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

ステップ 1.3.4.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [10 \cdot 10 x^{2} + 10 x \cdot - 5 - 5 (10 x) - 5 \cdot - 5 - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

ステップ 1.3.4.1.3

$10$ に $10$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [100 x^{2} + 10 x \cdot - 5 - 5 (10 x) - 5 \cdot - 5 - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

ステップ 1.3.4.1.4

$- 5$ に $10$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [100 x^{2} - 50 x - 5 (10 x) - 5 \cdot - 5 - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

ステップ 1.3.4.1.5

$10$ に $- 5$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [100 x^{2} - 50 x - 50 x - 5 \cdot - 5 - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

ステップ 1.3.4.1.6

$- 5$ に $- 5$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [100 x^{2} - 50 x - 50 x + 25 - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

ステップ 1.3.4.2

$- 50 x$ から $50 x$ を引きます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [100 x^{2} - 100 x + 25 - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

ステップ 1.3.5

総和則では、 $100 x^{2} - 100 x + 25 - 25$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [100 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 100 x] + \frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- 25]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [100 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 100 x] + \frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

ステップ 1.3.6

$\frac{d}{d x} [100 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1

$100$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $100 x^{2}$ の微分係数は $100 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{100 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 100 x] + \frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

ステップ 1.3.6.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{100 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 100 x] + \frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

ステップ 1.3.6.3

$2$ に $100$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{200 x + \frac{d}{d x} [- 100 x] + \frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

ステップ 1.3.7

$\frac{d}{d x} [- 100 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.1

$- 100$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 100 x$ の微分係数は $- 100 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

ステップ 1.3.7.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

ステップ 1.3.7.3

$- 100$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100 + \frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

ステップ 1.3.8

$25$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $25$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100 + 0 + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

ステップ 1.3.9

$- 25$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 25$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100 + 0 + 0}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

ステップ 1.3.10

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.10.1

$200 x - 100$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100 + 0}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

ステップ 1.3.10.2

$200 x - 100$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

ステップ 1.3.11

総和則では、 $5 x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100}{\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

ステップ 1.3.12

$\frac{d}{d x} [5 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.12.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100}{5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

ステップ 1.3.12.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100}{5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]}$

ステップ 1.3.12.3

$5$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100}{5 + \frac{d}{d x} [- 5]}$

ステップ 1.3.13

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100}{5 + 0}$

ステップ 1.3.14

$5$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100}{5}$

ステップ 1.4

$200 x - 100$ と $5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$5$ を $200 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to 1} \frac{5 (40 x) - 100}{5}$

ステップ 1.4.2

$5$ を $- 100$ で因数分解します。

$lim_{x \to 1} \frac{5 (40 x) + 5 \cdot - 20}{5}$

ステップ 1.4.3

$5$ を $5 (40 x) + 5 (- 20)$ で因数分解します。

$lim_{x \to 1} \frac{5 (40 x - 20)}{5}$

ステップ 1.4.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.4.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$lim_{x \to 1} \frac{5 (40 x - 20)}{5 (1)}$

ステップ 1.4.4.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 1} \frac{5 (40 x - 20)}{5 \cdot 1}$

ステップ 1.4.4.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{40 x - 20}{1}$

ステップ 1.4.4.4

$40 x - 20$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 1} 40 x - 20$

ステップ 2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{x \to 1} 40 x - lim_{x \to 1} 20$

ステップ 2.2

$40$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$40 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 20$

ステップ 2.3

$x$ が $1$ に近づくと定数である $20$ の極限値を求めます。

$40 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 20$

ステップ 3

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$40 \cdot 1 - 1 \cdot 20$

ステップ 4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$40$ に $1$ をかけます。

$40 - 1 \cdot 20$

ステップ 4.1.2

$- 1$ に $20$ をかけます。

$40 - 20$

ステップ 4.2

$40$ から $20$ を引きます。

$20$

微分積分 例

微分積分例