微分積分例

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} - \frac{3}{x^{3} - 1}$

ステップ 1

項をまとめます。

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ステップ 1.1

$\frac{1}{x - 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{3} - 1}{x^{3} - 1}$ を掛けます。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x^{3} - 1}{x^{3} - 1} - \frac{3}{x^{3} - 1}$

ステップ 1.2

$- \frac{3}{x^{3} - 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 1}{x - 1}$ を掛けます。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x^{3} - 1}{x^{3} - 1} - \frac{3}{x^{3} - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

ステップ 1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x - 1) (x^{3} - 1)$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$\frac{1}{x - 1}$ に $\frac{x^{3} - 1}{x^{3} - 1}$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 1}{(x - 1) (x^{3} - 1)} - \frac{3}{x^{3} - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

ステップ 1.3.2

$\frac{3}{x^{3} - 1}$ に $\frac{x - 1}{x - 1}$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 1}{(x - 1) (x^{3} - 1)} - \frac{3 (x - 1)}{(x^{3} - 1) (x - 1)}$

ステップ 1.3.3

$(x^{3} - 1) (x - 1)$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 1}{(x - 1) (x^{3} - 1)} - \frac{3 (x - 1)}{(x - 1) (x^{3} - 1)}$

ステップ 1.4

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 1 - 3 (x - 1)}{(x - 1) (x^{3} - 1)}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - 1 - 3 (x - 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} 3 (x - 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

ステップ 2.1.2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} 3 (x - 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

ステップ 2.1.2.3

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 1 - lim_{x \to 1} 3 (x - 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

ステップ 2.1.2.4

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 1 - 3 lim_{x \to 1} x - 1}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

ステップ 2.1.2.5

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 1 - 3 (lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

ステップ 2.1.2.6

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 1 - 3 (lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

ステップ 2.1.2.7

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.7.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1^{3} - 1 \cdot 1 - 3 (lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

ステップ 2.1.2.7.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1^{3} - 1 \cdot 1 - 3 (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

ステップ 2.1.2.8

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.8.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - 3 (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

ステップ 2.1.2.8.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1 - 3 (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

ステップ 2.1.2.8.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1 - 3 (1 - 1)}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

ステップ 2.1.2.8.1.4

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{1 - 1 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

ステップ 2.1.2.8.1.5

$- 3$ に $0$ をかけます。

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

ステップ 2.1.2.8.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

ステップ 2.1.2.8.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{3} - 1)}$

ステップ 2.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

ステップ 2.1.3.2

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

ステップ 2.1.3.3

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

ステップ 2.1.3.4

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} 1)}$

ステップ 2.1.3.5

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 1)}$

ステップ 2.1.3.6

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 1)}$

ステップ 2.1.3.7

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.7.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{(1 - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 1)}$

ステップ 2.1.3.7.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{(1 - 1 \cdot 1) \cdot (1^{3} - 1 \cdot 1)}$

ステップ 2.1.3.8

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.8.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{(1 - 1) \cdot (1^{3} - 1 \cdot 1)}$

ステップ 2.1.3.8.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0 \cdot (1^{3} - 1 \cdot 1)}$

ステップ 2.1.3.8.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.8.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

ステップ 2.1.3.8.3.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 1)}$

ステップ 2.1.3.8.4

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

ステップ 2.1.3.8.5

$0$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.3.8.6

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.3.9

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 1 - 3 (x - 1)}{(x - 1) (x^{3} - 1)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1 - 3 (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1 - 3 (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $x^{3} - 1 - 3 (x - 1)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 3 (x - 1)]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 3 (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

ステップ 2.3.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 3 (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

ステップ 2.3.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [- 3 (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

ステップ 2.3.5

$\frac{d}{d x} [- 3 (x - 1)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 (x - 1)$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x - 1]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + 0 - 3 \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

ステップ 2.3.5.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + 0 - 3 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

ステップ 2.3.5.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + 0 - 3 (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

ステップ 2.3.5.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + 0 - 3 (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

ステップ 2.3.5.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + 0 - 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

ステップ 2.3.5.6

$- 3$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + 0 - 3}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

ステップ 2.3.6

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{3} - 1)]}$

ステップ 2.3.7

$f (x) = x - 1$ および $g (x) = x^{3} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} - 1] + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 2.3.8

総和則では、 $x^{3} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 2.3.9

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{(x - 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 2.3.10

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{(x - 1) (3 x^{2} + 0) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 2.3.11

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{(x - 1) (3 x^{2}) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 2.3.12

$3$ を $x - 1$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 \cdot (x - 1) x^{2} + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 2.3.13

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 (x - 1) x^{2} + (x^{3} - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}$

ステップ 2.3.14

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 (x - 1) x^{2} + (x^{3} - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}$

ステップ 2.3.15

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 (x - 1) x^{2} + (x^{3} - 1) (1 + 0)}$

ステップ 2.3.16

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 (x - 1) x^{2} + (x^{3} - 1) \cdot 1}$

ステップ 2.3.17

$x^{3} - 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 (x - 1) x^{2} + x^{3} - 1}$

ステップ 2.3.18

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.18.1

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{(3 x + 3 \cdot - 1) x^{2} + x^{3} - 1}$

ステップ 2.3.18.2

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 x \cdot x^{2} + 3 \cdot - 1 x^{2} + x^{3} - 1}$

ステップ 2.3.18.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.18.3.1

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.18.3.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 (x^{2} x) + 3 \cdot - 1 x^{2} + x^{3} - 1}$

ステップ 2.3.18.3.1.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.18.3.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot - 1 x^{2} + x^{3} - 1}$

ステップ 2.3.18.3.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 x^{2 + 1} + 3 \cdot - 1 x^{2} + x^{3} - 1}$

ステップ 2.3.18.3.1.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 x^{3} + 3 \cdot - 1 x^{2} + x^{3} - 1}$

ステップ 2.3.18.3.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{3 x^{3} - 3 x^{2} + x^{3} - 1}$

ステップ 2.3.18.3.3

$3 x^{3}$ と $x^{3}$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

ステップ 3.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

ステップ 3.1.2.1.2

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

ステップ 3.1.2.1.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

ステップ 3.1.2.1.4

$x$ が $1$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

ステップ 3.1.2.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

ステップ 3.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{3 \cdot 1 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

ステップ 3.1.2.3.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

ステップ 3.1.2.3.1.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

ステップ 3.1.2.3.2

$3$ から $3$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - 3 x^{2} - 1}$

ステップ 3.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 4 x^{3} - lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

ステップ 3.1.3.2

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{4 lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

ステップ 3.1.3.3

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

ステップ 3.1.3.4

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 3 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

ステップ 3.1.3.5

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

ステップ 3.1.3.6

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

ステップ 3.1.3.7

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.7.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{4 \cdot 1^{3} - 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

ステップ 3.1.3.7.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{4 \cdot 1^{3} - 3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1}$

ステップ 3.1.3.8

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.8.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{0}{4 \cdot 1 - 3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1}$

ステップ 3.1.3.8.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{4 - 3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1}$

ステップ 3.1.3.8.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{0}{4 - 3 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 3.1.3.8.1.4

$- 3$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{4 - 3 - 1 \cdot 1}$

ステップ 3.1.3.8.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{4 - 3 - 1}$

ステップ 3.1.3.8.2

$4$ から $3$ を引きます。

$\frac{0}{1 - 1}$

ステップ 3.1.3.8.3

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.1.3.8.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.1.3.9

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 3}{4 x^{3} - 3 x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 3]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 3]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

ステップ 3.3.2

総和則では、 $3 x^{2} - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

ステップ 3.3.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

ステップ 3.3.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

ステップ 3.3.3.3

$2$ に $3$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{6 x + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

ステップ 3.3.4

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{6 x + 0}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

ステップ 3.3.5

$6 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2} - 1]}$

ステップ 3.3.6

総和則では、 $4 x^{3} - 3 x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.3.7

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.7.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.3.7.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.3.7.3

$3$ に $4$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.3.8

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.8.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{2}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{12 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.3.8.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{12 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.3.8.3

$2$ に $- 3$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{12 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.3.9

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{12 x^{2} - 6 x + 0}$

ステップ 3.3.10

$12 x^{2} - 6 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{6 x}{12 x^{2} - 6 x}$

ステップ 4

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$6$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$6 lim_{x \to 1} \frac{x}{12 x^{2} - 6 x}$

ステップ 4.2

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$6 \frac{lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} 12 x^{2} - 6 x}$

ステップ 4.3

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$6 \frac{lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} 12 x^{2} - lim_{x \to 1} 6 x}$

ステップ 4.4

$12$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$6 \frac{lim_{x \to 1} x}{12 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 6 x}$

ステップ 4.5

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$6 \frac{lim_{x \to 1} x}{12 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 6 x}$

ステップ 4.6

$6$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$6 \frac{lim_{x \to 1} x}{12 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 1} x}$

ステップ 5

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$6 \frac{1}{12 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 1} x}$

ステップ 5.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$6 \frac{1}{12 \cdot 1^{2} - 6 lim_{x \to 1} x}$

ステップ 5.3

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$6 \frac{1}{12 \cdot 1^{2} - 6 \cdot 1}$

ステップ 6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$6 \frac{1}{12 \cdot 1 - 6 \cdot 1}$

ステップ 6.1.2

$12$ に $1$ をかけます。

$6 \frac{1}{12 - 6 \cdot 1}$

ステップ 6.1.3

$- 6$ に $1$ をかけます。

$6 \frac{1}{12 - 6}$

ステップ 6.1.4

$12$ から $6$ を引きます。

$6 (\frac{1}{6})$

ステップ 6.2

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

共通因数を約分します。

$6 (\frac{1}{6})$

ステップ 6.2.2

式を書き換えます。

$1$

微分積分 例

微分積分例