微分積分例

$lim_{t \to - 7} \frac{t^{2} - 49}{2 t^{2} + 15 t + 7}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{t \to - 7} t^{2} - 49}{lim_{t \to - 7} 2 t^{2} + 15 t + 7}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$t$ が $- 7$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{t \to - 7} t^{2} - lim_{t \to - 7} 49}{lim_{t \to - 7} 2 t^{2} + 15 t + 7}$

ステップ 1.1.2.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $t^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{t \to - 7} t)}^{2} - lim_{t \to - 7} 49}{lim_{t \to - 7} 2 t^{2} + 15 t + 7}$

ステップ 1.1.2.1.3

$t$ が $- 7$ に近づくと定数である $49$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{t \to - 7} t)}^{2} - 1 \cdot 49}{lim_{t \to - 7} 2 t^{2} + 15 t + 7}$

ステップ 1.1.2.2

$t$ を $- 7$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{{(- 7)}^{2} - 1 \cdot 49}{lim_{t \to - 7} 2 t^{2} + 15 t + 7}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

$- 7$ を $2$ 乗します。

$\frac{49 - 1 \cdot 49}{lim_{t \to - 7} 2 t^{2} + 15 t + 7}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$- 1$ に $49$ をかけます。

$\frac{49 - 49}{lim_{t \to - 7} 2 t^{2} + 15 t + 7}$

ステップ 1.1.2.3.2

$49$ から $49$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{t \to - 7} 2 t^{2} + 15 t + 7}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$t$ が $- 7$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{t \to - 7} 2 t^{2} + lim_{t \to - 7} 15 t + lim_{t \to - 7} 7}$

ステップ 1.1.3.2

$2$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{2 lim_{t \to - 7} t^{2} + lim_{t \to - 7} 15 t + lim_{t \to - 7} 7}$

ステップ 1.1.3.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $t^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{2 {(lim_{t \to - 7} t)}^{2} + lim_{t \to - 7} 15 t + lim_{t \to - 7} 7}$

ステップ 1.1.3.4

$15$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{2 {(lim_{t \to - 7} t)}^{2} + 15 lim_{t \to - 7} t + lim_{t \to - 7} 7}$

ステップ 1.1.3.5

$t$ が $- 7$ に近づくと定数である $7$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{2 {(lim_{t \to - 7} t)}^{2} + 15 lim_{t \to - 7} t + 7}$

ステップ 1.1.3.6

すべての $t$ に $- 7$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.6.1

$t$ を $- 7$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{2 {(- 7)}^{2} + 15 lim_{t \to - 7} t + 7}$

ステップ 1.1.3.6.2

$t$ を $- 7$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{2 {(- 7)}^{2} + 15 \cdot - 7 + 7}$

ステップ 1.1.3.7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.7.1.1

$- 7$ を $2$ 乗します。

$\frac{0}{2 \cdot 49 + 15 \cdot - 7 + 7}$

ステップ 1.1.3.7.1.2

$2$ に $49$ をかけます。

$\frac{0}{98 + 15 \cdot - 7 + 7}$

ステップ 1.1.3.7.1.3

$15$ に $- 7$ をかけます。

$\frac{0}{98 - 105 + 7}$

ステップ 1.1.3.7.2

$98$ から $105$ を引きます。

$\frac{0}{- 7 + 7}$

ステップ 1.1.3.7.3

$- 7$ と $7$ をたし算します。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.7.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.8

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{t \to - 7} \frac{t^{2} - 49}{2 t^{2} + 15 t + 7} = lim_{t \to - 7} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2} - 49]}{\frac{d}{d t} [2 t^{2} + 15 t + 7]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{t \to - 7} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2} - 49]}{\frac{d}{d t} [2 t^{2} + 15 t + 7]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $t^{2} - 49$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 49]$ です。

$lim_{t \to - 7} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 49]}{\frac{d}{d t} [2 t^{2} + 15 t + 7]}$

ステップ 1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{t \to - 7} \frac{2 t + \frac{d}{d t} [- 49]}{\frac{d}{d t} [2 t^{2} + 15 t + 7]}$

ステップ 1.3.4

$- 49$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 49$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{t \to - 7} \frac{2 t + 0}{\frac{d}{d t} [2 t^{2} + 15 t + 7]}$

ステップ 1.3.5

$2 t$ と $0$ をたし算します。

$lim_{t \to - 7} \frac{2 t}{\frac{d}{d t} [2 t^{2} + 15 t + 7]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $2 t^{2} + 15 t + 7$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [15 t] + \frac{d}{d t} [7]$ です。

$lim_{t \to - 7} \frac{2 t}{\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [15 t] + \frac{d}{d t} [7]}$

ステップ 1.3.7

$\frac{d}{d t} [2 t^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.1

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$lim_{t \to - 7} \frac{2 t}{2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [15 t] + \frac{d}{d t} [7]}$

ステップ 1.3.7.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{t \to - 7} \frac{2 t}{2 (2 t) + \frac{d}{d t} [15 t] + \frac{d}{d t} [7]}$

ステップ 1.3.7.3

$2$ に $2$ をかけます。

$lim_{t \to - 7} \frac{2 t}{4 t + \frac{d}{d t} [15 t] + \frac{d}{d t} [7]}$

ステップ 1.3.8

$\frac{d}{d t} [15 t]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.8.1

$15$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $15 t$ の微分係数は $15 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$lim_{t \to - 7} \frac{2 t}{4 t + 15 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [7]}$

ステップ 1.3.8.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{t \to - 7} \frac{2 t}{4 t + 15 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [7]}$

ステップ 1.3.8.3

$15$ に $1$ をかけます。

$lim_{t \to - 7} \frac{2 t}{4 t + 15 + \frac{d}{d t} [7]}$

ステップ 1.3.9

$7$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{t \to - 7} \frac{2 t}{4 t + 15 + 0}$

ステップ 1.3.10

$4 t + 15$ と $0$ をたし算します。

$lim_{t \to - 7} \frac{2 t}{4 t + 15}$

ステップ 2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$2$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 lim_{t \to - 7} \frac{t}{4 t + 15}$

ステップ 2.2

$t$ が $- 7$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$2 \frac{lim_{t \to - 7} t}{lim_{t \to - 7} 4 t + 15}$

ステップ 2.3

$t$ が $- 7$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$2 \frac{lim_{t \to - 7} t}{lim_{t \to - 7} 4 t + lim_{t \to - 7} 15}$

ステップ 2.4

$4$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 \frac{lim_{t \to - 7} t}{4 lim_{t \to - 7} t + lim_{t \to - 7} 15}$

ステップ 2.5

$t$ が $- 7$ に近づくと定数である $15$ の極限値を求めます。

$2 \frac{lim_{t \to - 7} t}{4 lim_{t \to - 7} t + 15}$

ステップ 3

すべての $t$ に $- 7$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$t$ を $- 7$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$2 \frac{- 7}{4 lim_{t \to - 7} t + 15}$

ステップ 3.2

$t$ を $- 7$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$2 \frac{- 7}{4 \cdot - 7 + 15}$

ステップ 4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$4$ に $- 7$ をかけます。

$2 \frac{- 7}{- 28 + 15}$

ステップ 4.1.2

$- 28$ と $15$ をたし算します。

$2 (\frac{- 7}{- 13})$

ステップ 4.2

2つの負の値を割ると正の値になります。

$2 (\frac{7}{13})$

ステップ 4.3

$2 (\frac{7}{13})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$2$ と $\frac{7}{13}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 7}{13}$

ステップ 4.3.2

$2$ に $7$ をかけます。

$\frac{14}{13}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{14}{13}$

10進法形式：

$1.\overline{076923}$

微分積分 例

微分積分例