微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{5}{x \sqrt{1 + x}} - \frac{5}{x}$

ステップ 1

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$- \frac{5}{x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$ を掛けます。

$lim_{x \to 0} \frac{5}{x \sqrt{1 + x}} - \frac{5}{x} \cdot \frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$

ステップ 1.2

$\frac{5}{x}$ に $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{5}{x \sqrt{1 + x}} - \frac{5 \sqrt{1 + x}}{x \sqrt{1 + x}}$

ステップ 1.3

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \sqrt{1 + x}}{x \sqrt{1 + x}}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} 5 - 5 \sqrt{1 + x}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 2.1.2.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} 5 - lim_{x \to 0} 5 \sqrt{1 + x}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

ステップ 2.1.2.1.2

$x$ が $0$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$\frac{5 - lim_{x \to 0} 5 \sqrt{1 + x}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

ステップ 2.1.2.1.3

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{5 - 5 lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

ステップ 2.1.2.1.4

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{5 - 5 \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + x}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

ステップ 2.1.2.1.5

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{5 - 5 \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

ステップ 2.1.2.1.6

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{5 - 5 \sqrt{1 + lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

ステップ 2.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{5 - 5 \sqrt{1 + 0}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

ステップ 2.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{5 - 5 \sqrt{1}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

ステップ 2.1.2.3.1.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{5 - 5 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

ステップ 2.1.2.3.1.3

$- 5$ に $1$ をかけます。

$\frac{5 - 5}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

ステップ 2.1.2.3.2

$5$ から $5$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

ステップ 2.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x}}$

ステップ 2.1.3.2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + x}}$

ステップ 2.1.3.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 2.1.3.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sqrt{1 + lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 2.1.3.5

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.5.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0 \cdot \sqrt{1 + lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 2.1.3.5.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0 \cdot \sqrt{1 + 0}}$

ステップ 2.1.3.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{0 \cdot \sqrt{1}}$

ステップ 2.1.3.6.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{0}{0 \cdot 1}$

ステップ 2.1.3.6.3

$0$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.3.6.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.3.7

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \sqrt{1 + x}}{x \sqrt{1 + x}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 - 5 \sqrt{1 + x}]}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 - 5 \sqrt{1 + x}]}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $5 - 5 \sqrt{1 + x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt{1 + x}]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt{1 + x}]}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

ステップ 2.3.3

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt{1 + x}]}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

ステップ 2.3.4

$\frac{d}{d x} [- 5 \sqrt{1 + x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 + x}$ を ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 5 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

ステップ 2.3.4.2

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 \frac{d}{d x} [{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

ステップ 2.3.4.3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 1 + x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 + x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x])}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

ステップ 2.3.4.3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x])}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

ステップ 2.3.4.3.3

$u$ のすべての発生を $1 + x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x])}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

ステップ 2.3.4.4

総和則では、 $1 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

ステップ 2.3.4.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

ステップ 2.3.4.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

ステップ 2.3.4.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

ステップ 2.3.4.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

ステップ 2.3.4.9

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

ステップ 2.3.4.10

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.4.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

ステップ 2.3.4.10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

ステップ 2.3.4.11

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

ステップ 2.3.4.12

$0$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

ステップ 2.3.4.13

$\frac{1}{2}$ と ${(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{{(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

ステップ 2.3.4.14

$\frac{{(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 \frac{{(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

ステップ 2.3.4.15

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 \frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

ステップ 2.3.4.16

$- 5$ と $\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{- 5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

ステップ 2.3.4.17

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

ステップ 2.3.5

$0$ から $\frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ を引きます。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

ステップ 2.3.6

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 + x}$ を ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}]}$

ステップ 2.3.7

$f (x) = x$ および $g (x) = {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x \frac{d}{d x} [{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}] + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.8

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 1 + x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.8.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 + x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.8.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.8.3

$u$ のすべての発生を $1 + x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.9

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.10

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.11

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.12

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.12.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.12.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.13

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.14

$\frac{1}{2}$ と ${(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{{(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.15

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.16

$\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x] + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.17

総和則では、 $1 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.18

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.19

$0$ と $\frac{d}{d x} [x]$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.20

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.21

$\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.22

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1}$

ステップ 2.3.23

${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.3.24

${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 2.3.25

${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 2.3.26

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 2.3.27

指数を足して ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.27.1

${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 2.3.27.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + {(1 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 2.3.27.3

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + {(1 + x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 2.3.27.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + {(1 + x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 2.3.27.5

$2$ を $2$ で割ります。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + {(1 + x)}^{1} \cdot 2}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 2.3.28

${(1 + x)}^{1} \cdot 2$ を簡約します。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + (1 + x) \cdot 2}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 2.3.29

$2$ を $1 + x$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + 2 \cdot (1 + x)}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 2.3.30

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.30.1

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + 2 \cdot 1 + 2 x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 2.3.30.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.30.2.1

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + 2 + 2 x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 2.3.30.2.2

$x$ と $2 x$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 x + 2}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 0} - \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{3 x + 2}$

ステップ 2.5

分数指数を根に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{1 + x}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} - \frac{5}{2 \sqrt{1 + x}} \cdot \frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{3 x + 2}$

ステップ 2.5.2

${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{1 + x}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} - \frac{5}{2 \sqrt{1 + x}} \cdot \frac{2 \sqrt{1 + x}}{3 x + 2}$

ステップ 2.6

因数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$\frac{2 \sqrt{1 + x}}{3 x + 2}$ に $\frac{5}{2 \sqrt{1 + x}}$ をかけます。

$lim_{x \to 0} - \frac{2 \sqrt{1 + x} \cdot 5}{(3 x + 2) (2 \sqrt{1 + x})}$

ステップ 2.6.2

$5$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 0} - \frac{10 \sqrt{1 + x}}{(3 x + 2) (2 \sqrt{1 + x})}$

ステップ 2.7

約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

$10$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1.1

$2$ を $10 \sqrt{1 + x}$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0} - \frac{2 (5 \sqrt{1 + x})}{(3 x + 2) (2 \sqrt{1 + x})}$

ステップ 2.7.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1.2.1

$2$ を $(3 x + 2) (2 \sqrt{1 + x})$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0} - \frac{2 (5 \sqrt{1 + x})}{2 ((3 x + 2) (\sqrt{1 + x}))}$

ステップ 2.7.1.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0} - \frac{2 (5 \sqrt{1 + x})}{2 ((3 x + 2) (\sqrt{1 + x}))}$

ステップ 2.7.1.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to 0} - \frac{5 \sqrt{1 + x}}{(3 x + 2) (\sqrt{1 + x})}$

ステップ 2.7.2

$\sqrt{1 + x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0} - \frac{5 \sqrt{1 + x}}{(3 x + 2) \sqrt{1 + x}}$

ステップ 2.7.2.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to 0} - \frac{5}{3 x + 2}$

ステップ 3

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- lim_{x \to 0} \frac{5}{3 x + 2}$

ステップ 3.2

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 5 lim_{x \to 0} \frac{1}{3 x + 2}$

ステップ 3.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$- 5 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 x + 2}$

ステップ 3.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to 0} 3 x + 2}$

ステップ 3.5

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to 0} 3 x + lim_{x \to 0} 2}$

ステップ 3.6

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 5 \frac{1}{3 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2}$

ステップ 3.7

$x$ が $0$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$- 5 \frac{1}{3 lim_{x \to 0} x + 2}$

ステップ 4

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$- 5 \frac{1}{3 \cdot 0 + 2}$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$3$ に $0$ をかけます。

$- 5 \frac{1}{0 + 2}$

ステップ 5.1.2

$0$ と $2$ をたし算します。

$- 5 (\frac{1}{2})$

ステップ 5.2

$- 5$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 5}{2}$

ステップ 5.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{5}{2}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{5}{2}$

10進法形式：

$- 2.5$

微分積分 例

微分積分例