微分積分例

$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x} d x$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = 3 \sec (t)$ とします。次に $d x = 3 \sec (t) \tan (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $3 \sec (t) \tan (t)$ は正であることに注意します。

$\int \frac{\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}}{3 \sec (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2

項を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1.1

積の法則を $3 \sec (t)$ に当てはめます。

$\int \frac{\sqrt{3^{2} \sec^{2} (t) - 9}}{3 \sec (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.1.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\int \frac{\sqrt{9 \sec^{2} (t) - 9}}{3 \sec (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.1.2

$9$ を $9 \sec^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{\sqrt{9 (\sec^{2} (t)) - 9}}{3 \sec (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.1.3

$9$ を $- 9$ で因数分解します。

$\int \frac{\sqrt{9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1}}{3 \sec (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.1.4

$9$ を $9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1$ で因数分解します。

$\int \frac{\sqrt{9 (\sec^{2} (t) - 1)}}{3 \sec (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.1.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \frac{\sqrt{9 \tan^{2} (t)}}{3 \sec (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.1.6

$9 \tan^{2} (t)$ を ${(3 \tan (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{\sqrt{{(3 \tan (t))}^{2}}}{3 \sec (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.1.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int \frac{3 \tan (t)}{3 \sec (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.2

$3 \sec (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1

$3 \sec (t)$ を $3 \sec (t) \tan (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{3 \tan (t)}{3 \sec (t)} (3 \sec (t) (\tan (t))) d t$

ステップ 2.2.2

共通因数を約分します。

$\int \frac{3 \tan (t)}{3 \sec (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.2.3

式を書き換えます。

$\int 3 \tan (t) \tan (t) d t$

ステップ 3

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$\int 3 (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

ステップ 4

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$\int 3 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

ステップ 5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 3 {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

ステップ 6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int 3 \tan^{2} (t) d t$

ステップ 7

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int \tan^{2} (t) d t$

ステップ 8

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (t)$ を $- 1 + \sec^{2} (t)$ に書き換えます。

$3 \int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

ステップ 9

単一積分を複数積分に分割します。

$3 (\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

ステップ 10

定数の法則を当てはめます。

$3 (- t + C + \int \sec^{2} (t) d t)$

ステップ 11

$\tan (t)$ の微分係数が $\sec^{2} (t)$ なので、 $\sec^{2} (t)$ の積分は $\tan (t)$ です。

$3 (- t + C + \tan (t) + C)$

ステップ 12

簡約します。

$3 (- t + \tan (t)) + C$

ステップ 13

$t$ のすべての発生を $arcsec (\frac{x}{3})$ で置き換えます。

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \tan (arcsec (\frac{x}{3}))) + C$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

各項を簡約します。

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ステップ 14.1.1

交点 $(1, \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2} - 1^{2}})$ 、 $(1, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $arcsec (\frac{x}{3})$ は正のx軸と、原点から始まって $(1, \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2} - 1^{2}})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\tan (arcsec (\frac{x}{3}))$ は $\sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2} - 1}$ です。

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2} - 1}) + C$

ステップ 14.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2} - 1^{2}}) + C$

ステップ 14.1.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \frac{x}{3}$ であり、 $b = 1$ です。

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{(\frac{x}{3} + 1) (\frac{x}{3} - 1)}) + C$

ステップ 14.1.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{(\frac{x}{3} + \frac{3}{3}) (\frac{x}{3} - 1)}) + C$

ステップ 14.1.5

公分母の分子をまとめます。

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{\frac{x + 3}{3} (\frac{x}{3} - 1)}) + C$

ステップ 14.1.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{\frac{x + 3}{3} (\frac{x}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}) + C$

ステップ 14.1.7

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{\frac{x + 3}{3} (\frac{x}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}) + C$

ステップ 14.1.8

公分母の分子をまとめます。

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{\frac{x + 3}{3} \cdot \frac{x - 1 \cdot 3}{3}}) + C$

ステップ 14.1.9

$- 1$ に $3$ をかけます。

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{\frac{x + 3}{3} \cdot \frac{x - 3}{3}}) + C$

ステップ 14.1.10

$\frac{x + 3}{3}$ に $\frac{x - 3}{3}$ をかけます。

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{\frac{(x + 3) (x - 3)}{3 \cdot 3}}) + C$

ステップ 14.1.11

$3$ に $3$ をかけます。

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{\frac{(x + 3) (x - 3)}{9}}) + C$

ステップ 14.1.12

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{9}$ を ${(\frac{1}{3})}^{2} ((x + 3) (x - 3))$ に書き換えます。

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ステップ 14.1.12.1

$(x + 3) (x - 3)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 3) (x - 3))}{9}}) + C$

ステップ 14.1.12.2

$9$ から完全累乗 $3^{2}$ を因数分解します。

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 3) (x - 3))}{3^{2} \cdot 1}}) + C$

ステップ 14.1.12.3

分数 $\frac{1^{2} ((x + 3) (x - 3))}{3^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((x + 3) (x - 3))}) + C$

ステップ 14.1.13

累乗根の下から項を取り出します。

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \frac{1}{3} \sqrt{(x + 3) (x - 3)}) + C$

ステップ 14.1.14

$\frac{1}{3}$ と $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ をまとめます。

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{3}) + C$

ステップ 14.2

$- arcsec (\frac{x}{3})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{3}) + C$

ステップ 14.3

$- arcsec (\frac{x}{3})$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$3 (\frac{- arcsec (\frac{x}{3}) \cdot 3}{3} + \frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{3}) + C$

ステップ 14.4

公分母の分子をまとめます。

$3 \frac{- arcsec (\frac{x}{3}) \cdot 3 + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{3} + C$

ステップ 14.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.5.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{- arcsec (\frac{x}{3}) \cdot 3 + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{3} + C$

ステップ 14.5.2

式を書き換えます。

$- arcsec (\frac{x}{3}) \cdot 3 + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} + C$

ステップ 14.6

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} + C$

ステップ 15

項を並べ替えます。

$- 3 arcsec (\frac{1}{3} x) + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} + C$

微分積分 例

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