微分積分例

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 7 x + 2}{2 x^{2} + x - 10}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 7 x + 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{2} + x - 10}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - lim_{x \to 2} 7 x + lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{2} + x - 10}$

ステップ 1.1.2.2

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 7 x + lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{2} + x - 10}$

ステップ 1.1.2.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 7 x + lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{2} + x - 10}$

ステップ 1.1.2.4

$7$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{2} + x - 10}$

ステップ 1.1.2.5

$x$ が $2$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 2} x + 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{2} + x - 10}$

ステップ 1.1.2.6

すべての $x$ に $2$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 7 lim_{x \to 2} x + 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{2} + x - 10}$

ステップ 1.1.2.6.2

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 7 \cdot 2 + 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{2} + x - 10}$

ステップ 1.1.2.7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.7.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{3 \cdot 4 - 7 \cdot 2 + 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{2} + x - 10}$

ステップ 1.1.2.7.1.2

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{12 - 7 \cdot 2 + 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{2} + x - 10}$

ステップ 1.1.2.7.1.3

$- 7$ に $2$ をかけます。

$\frac{12 - 14 + 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{2} + x - 10}$

ステップ 1.1.2.7.2

$12$ から $14$ を引きます。

$\frac{- 2 + 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{2} + x - 10}$

ステップ 1.1.2.7.3

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{x \to 2} 2 x^{2} + x - 10}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 2} 2 x^{2} + lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 10}$

ステップ 1.1.3.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{2 lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 10}$

ステップ 1.1.3.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 10}$

ステップ 1.1.3.4

$x$ が $2$ に近づくと定数である $10$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 10}$

ステップ 1.1.3.5

すべての $x$ に $2$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.5.1

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{2 \cdot 2^{2} + lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 10}$

ステップ 1.1.3.5.2

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{2 \cdot 2^{2} + 2 - 1 \cdot 10}$

ステップ 1.1.3.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.6.1.1

指数を足して $2$ に $2^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.6.1.1.1

$2$ に $2^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.6.1.1.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$\frac{0}{2^{1} \cdot 2^{2} + 2 - 1 \cdot 10}$

ステップ 1.1.3.6.1.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{0}{2^{1 + 2} + 2 - 1 \cdot 10}$

ステップ 1.1.3.6.1.1.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{0}{2^{3} + 2 - 1 \cdot 10}$

ステップ 1.1.3.6.1.2

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{0}{8 + 2 - 1 \cdot 10}$

ステップ 1.1.3.6.1.3

$- 1$ に $10$ をかけます。

$\frac{0}{8 + 2 - 10}$

ステップ 1.1.3.6.2

$8$ と $2$ をたし算します。

$\frac{0}{10 - 10}$

ステップ 1.1.3.6.3

$10$ から $10$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.6.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.7

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 7 x + 2}{2 x^{2} + x - 10} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x + 2]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + x - 10]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x + 2]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + x - 10]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $3 x^{2} - 7 x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + x - 10]}$

ステップ 1.3.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + x - 10]}$

ステップ 1.3.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2} \frac{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + x - 10]}$

ステップ 1.3.3.3

$2$ に $3$ をかけます。

$lim_{x \to 2} \frac{6 x + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + x - 10]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- 7 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

$- 7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 7 x$ の微分係数は $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + x - 10]}$

ステップ 1.3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + x - 10]}$

ステップ 1.3.4.3

$- 7$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 7 + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + x - 10]}$

ステップ 1.3.5

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 7 + 0}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + x - 10]}$

ステップ 1.3.6

$6 x - 7$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 7}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + x - 10]}$

ステップ 1.3.7

総和則では、 $2 x^{2} + x - 10$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 7}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]}$

ステップ 1.3.8

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.8.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 7}{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]}$

ステップ 1.3.8.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 7}{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]}$

ステップ 1.3.8.3

$2$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 7}{4 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]}$

ステップ 1.3.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 7}{4 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 10]}$

ステップ 1.3.10

$- 10$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 10$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 7}{4 x + 1 + 0}$

ステップ 1.3.11

$4 x + 1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 7}{4 x + 1}$

ステップ 2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 2} 6 x - 7}{lim_{x \to 2} 4 x + 1}$

ステップ 2.2

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 2} 6 x - lim_{x \to 2} 7}{lim_{x \to 2} 4 x + 1}$

ステップ 2.3

$6$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{6 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 7}{lim_{x \to 2} 4 x + 1}$

ステップ 2.4

$x$ が $2$ に近づくと定数である $7$ の極限値を求めます。

$\frac{6 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 7}{lim_{x \to 2} 4 x + 1}$

ステップ 2.5

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{6 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 7}{lim_{x \to 2} 4 x + lim_{x \to 2} 1}$

ステップ 2.6

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{6 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 7}{4 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 1}$

ステップ 2.7

$x$ が $2$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{6 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 7}{4 lim_{x \to 2} x + 1}$

ステップ 3

すべての $x$ に $2$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{6 \cdot 2 - 1 \cdot 7}{4 lim_{x \to 2} x + 1}$

ステップ 3.2

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{6 \cdot 2 - 1 \cdot 7}{4 \cdot 2 + 1}$

ステップ 4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$6$ に $2$ をかけます。

$\frac{12 - 1 \cdot 7}{4 \cdot 2 + 1}$

ステップ 4.1.2

$- 1$ に $7$ をかけます。

$\frac{12 - 7}{4 \cdot 2 + 1}$

ステップ 4.1.3

$12$ から $7$ を引きます。

$\frac{5}{4 \cdot 2 + 1}$

ステップ 4.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{5}{8 + 1}$

ステップ 4.2.2

$8$ と $1$ をたし算します。

$\frac{5}{9}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{5}{9}$

10進法形式：

$0.\overline{5}$

微分積分 例

微分積分例