微分積分例

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + x - 2}{x - 1}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} + x - 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

ステップ 1.1.2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

ステップ 1.1.2.3

$x$ が $1$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

ステップ 1.1.2.4

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.4.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1^{2} + lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

ステップ 1.1.2.4.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1^{2} + 1 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

ステップ 1.1.2.5

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.2.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.2.5.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1 + 1 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

ステップ 1.1.2.5.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1 + 1 - 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

ステップ 1.1.2.5.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

ステップ 1.1.2.5.3

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

ステップ 1.1.3.1.2

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{1 - 1}$

ステップ 1.1.3.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + x - 2}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $x^{2} + x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 1.3.5

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1 + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 1.3.6

$2 x + 1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 1.3.7

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.9

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{1 + 0}$

ステップ 1.3.10

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{1}$

ステップ 1.4

$2 x + 1$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 1} 2 x + 1$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 1$

ステップ 2.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 1$

ステップ 2.3

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$2 lim_{x \to 1} x + 1$

ステップ 3

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \cdot 1 + 1$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + 1$

ステップ 4.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$3$

微分積分 例

微分積分例