微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{(2 - x) (2 + x)}$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(2 - x) (2 + x)$ を展開します。

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ステップ 1.1.1

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{2 (2 + x) - x (2 + x)}$

ステップ 1.1.2

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{2 \cdot 2 + 2 x - x (2 + x)}$

ステップ 1.1.3

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{2 \cdot 2 + 2 x - x \cdot 2 - x \cdot x}$

ステップ 1.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{4 + 2 x - x \cdot 2 - x \cdot x}$

ステップ 1.2.1.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{4 + 2 x - 2 x - x \cdot x}$

ステップ 1.2.1.3

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.2.1.3.1

$x$ を移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{4 + 2 x - 2 x - (x \cdot x)}$

ステップ 1.2.1.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{4 + 2 x - 2 x - x^{2}}$

ステップ 1.2.2

$2 x$ から $2 x$ を引きます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{4 + 0 - x^{2}}$

ステップ 1.2.3

$4$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{4 - x^{2}}$

ステップ 2

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x^{2}$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{4}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{4}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 3.1.2

$2$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{4}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{4}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 3.2.1.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{4}{x^{2}} - 1 \cdot 1}$

ステップ 3.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{4}{x^{2}} - 1}$

ステップ 3.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - 1}$

ステップ 3.4

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - 1}$

ステップ 3.5

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - 1}$

ステップ 4

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{2}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{2 + 0}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - 1}$

ステップ 5

極限を求めます。

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ステップ 5.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{2 + 0}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 5.2

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 + 0}{4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 6

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{2}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{2 + 0}{4 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7

極限を求めます。

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ステップ 7.1

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{2 + 0}{4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

ステップ 7.2

答えを簡約します。

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ステップ 7.2.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2}{4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

ステップ 7.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{2}{0 - 1 \cdot 1}$

ステップ 7.2.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{0 - 1}$

ステップ 7.2.2.3

$0$ から $1$ を引きます。

$\frac{2}{- 1}$

ステップ 7.2.3

$2$ を $- 1$ で割ります。

$- 2$

微分積分 例

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