微分積分例

$y = - 4 \sin (x)$ , $y = \sin (2 x)$

ステップ 1

代入で解き曲線間の交点を求めます。

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ステップ 1.1

各方程式の等辺を消去し、組み合わせます。

$- 4 \sin (x) = \sin (2 x)$

ステップ 1.2

$x$ について $- 4 \sin (x) = \sin (2 x)$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

方程式の両辺から $\sin (2 x)$ を引きます。

$- 4 \sin (x) - \sin (2 x) = 0$

ステップ 1.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$- 4 \sin (x) - (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

ステップ 1.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 \sin (x) - 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

ステップ 1.2.3

$- 4 \sin (x) - 2 \sin (x) \cos (x)$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.3.1

$2 \sin (x)$ を $- 4 \sin (x) - 2 \sin (x) \cos (x)$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.3.1.1

$2 \sin (x)$ を $- 4 \sin (x)$ で因数分解します。

$2 \sin (x) \cdot - 2 - 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

ステップ 1.2.3.1.2

$2 \sin (x)$ を $- 2 \sin (x) \cos (x)$ で因数分解します。

$2 \sin (x) \cdot - 2 + 2 \sin (x) (- 1 \cos (x)) = 0$

ステップ 1.2.3.1.3

$2 \sin (x)$ を $2 \sin (x) \cdot - 2 + 2 \sin (x) (- 1 \cos (x))$ で因数分解します。

$2 \sin (x) (- 2 - 1 \cos (x)) = 0$

ステップ 1.2.3.2

$- 1 \cos (x)$ を $- \cos (x)$ に書き換えます。

$2 \sin (x) (- 2 - \cos (x)) = 0$

ステップ 1.2.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\sin (x) = 0$

$- 2 - \cos (x) = 0 + y = \sin (2 x)$

ステップ 1.2.5

$\sin (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.1

$\sin (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (x) = 0$

ステップ 1.2.5.2

$x$ について $\sin (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.2.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (0)$

ステップ 1.2.5.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.2.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 1.2.5.2.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - 0$

ステップ 1.2.5.2.4

$π$ から $0$ を引きます。

$x = π$

ステップ 1.2.5.2.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 1.2.5.2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 1.2.5.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 1.2.5.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 1.2.5.2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 1.2.5.2.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.2.6

$- 2 - \cos (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.6.1

$- 2 - \cos (x)$ が $0$ に等しいとします。

$- 2 - \cos (x) = 0$

ステップ 1.2.6.2

$x$ について $- 2 - \cos (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.6.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$- \cos (x) = 2$

ステップ 1.2.6.2.2

$- \cos (x) = 2$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.6.2.2.1

$- \cos (x) = 2$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{2}{- 1}$

ステップ 1.2.6.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.6.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{2}{- 1}$

ステップ 1.2.6.2.2.2.2

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (x) = \frac{2}{- 1}$

ステップ 1.2.6.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.6.2.2.3.1

$2$ を $- 1$ で割ります。

$\cos (x) = - 2$

ステップ 1.2.6.2.3

余弦の値域は $- 1 \leq y \leq 1$ です。 $- 2$ がこの値域にないので、解はありません。

No $s o l u t i o n + y = \sin (2 x)$

ステップ 1.2.7

最終解は $2 \sin (x) (- 2 - \cos (x)) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.2.8

答えをまとめます。

$x = π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.3

$x = π n$ のとき、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$π n$ を $x$ に代入します。

$y = \sin (2 (π n))$

ステップ 1.3.2

括弧を削除します。

$y = \sin (2 π n)$

ステップ 1.4

すべての解をまとめます。

$y = \sin (2 π n), x = π n$

ステップ 2

与えられた曲線間の面積は非有界です。

有界でない面積

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例