微分積分例

$y = \cos (11 x)$ , $y = 0$ , $x = \frac{π}{22}$ , $x = \frac{π}{11}$

ステップ 1

代入で解き曲線間の交点を求めます。

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ステップ 1.1

各方程式の等辺を消去し、組み合わせます。

$\cos (11 x) = 0$

ステップ 1.2

$x$ について $\cos (11 x) = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$11 x = \arccos (0)$

ステップ 1.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$11 x = \frac{π}{2}$

ステップ 1.2.3

$11 x = \frac{π}{2}$ の各項を $11$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$11 x = \frac{π}{2}$ の各項を $11$ で割ります。

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{π}{2}}{11}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$11$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{π}{2}}{11}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{π}{2}}{11}$

ステップ 1.2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{11}$

ステップ 1.2.3.3.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{11}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.3.3.2.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{1}{11}$ をかけます。

$x = \frac{π}{2 \cdot 11}$

ステップ 1.2.3.3.2.2

$2$ に $11$ をかけます。

$x = \frac{π}{22}$

ステップ 1.2.4

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$11 x = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 1.2.5

$x$ について解きます。

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ステップ 1.2.5.1

簡約します。

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ステップ 1.2.5.1.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$11 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 1.2.5.1.2

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$11 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 1.2.5.1.3

公分母の分子をまとめます。

$11 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 1.2.5.1.4

$2$ に $2$ をかけます。

$11 x = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 1.2.5.1.5

$4 π$ から $π$ を引きます。

$11 x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 1.2.5.2

$11 x = \frac{3 π}{2}$ の各項を $11$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.1

$11 x = \frac{3 π}{2}$ の各項を $11$ で割ります。

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{3 π}{2}}{11}$

ステップ 1.2.5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.2.1

$11$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{3 π}{2}}{11}$

ステップ 1.2.5.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{11}$

ステップ 1.2.5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{11}$

ステップ 1.2.5.2.3.2

$\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{11}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.5.2.3.2.1

$\frac{3 π}{2}$ に $\frac{1}{11}$ をかけます。

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 11}$

ステップ 1.2.5.2.3.2.2

$2$ に $11$ をかけます。

$x = \frac{3 π}{22}$

ステップ 1.2.6

$\cos (11 x)$ の周期を求めます。

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ステップ 1.2.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 1.2.6.2

周期の公式の $b$ を $11$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 11 |}$

ステップ 1.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $11$ の間の距離は $11$ です。

$\frac{2 π}{11}$

ステップ 1.2.7

$\cos (11 x)$ 関数の周期が $\frac{2 π}{11}$ なので、両方向で $\frac{2 π}{11}$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{22} + \frac{2 π n}{11}, \frac{3 π}{22} + \frac{2 π n}{11}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.2.8

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{22} + \frac{π n}{11}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.3

$\frac{π}{22} + \frac{π n}{11}$ を $x$ に代入します。

$y = 0$

ステップ 1.4

すべての解をまとめます。

$y = 0, x = \frac{π}{22} + \frac{π n}{11}$

ステップ 2

曲線間の領域の面積は、各領域における上の曲線の積分から下の曲線の積分を差し引いたものとして定義されます。領域は、曲線の交点で決定します。これは、代数計算またはグラフで行うことができます。

$A r e a = \int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} 0 d x - \int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} \cos (11 x) d x$

ステップ 3

積分し、 $\frac{π}{22}$ と $\frac{π}{11}$ の間の面積を求めます。

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ステップ 3.1

積分を1つにまとめます。

$\int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} 0 - (\cos (11 x)) d x$

ステップ 3.2

$0$ から $\cos (11 x)$ を引きます。

$\int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} - \cos (11 x) d x$

ステップ 3.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} \cos (11 x) d x$

ステップ 3.4

$u = 11 x$ とします。次に $d u = 11 d x$ すると、 $\frac{1}{11} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.4.1

$u = 11 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.4.1.1

$11 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [11 x]$

ステップ 3.4.1.2

$11$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $11 x$ の微分係数は $11 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$11 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$11 \cdot 1$

ステップ 3.4.1.4

$11$ に $1$ をかけます。

$11$

ステップ 3.4.2

$u = 11 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 11 \frac{π}{22}$

ステップ 3.4.3

$11$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.3.1

$11$ を $22$ で因数分解します。

$u_{lower} = 11 \frac{π}{11 (2)}$

ステップ 3.4.3.2

共通因数を約分します。

$u_{lower} = 11 \frac{π}{11 \cdot 2}$

ステップ 3.4.3.3

式を書き換えます。

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

ステップ 3.4.4

$u = 11 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 11 \frac{π}{11}$

ステップ 3.4.5

$11$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.5.1

共通因数を約分します。

$u_{upper} = 11 \frac{π}{11}$

ステップ 3.4.5.2

式を書き換えます。

$u_{upper} = π$

ステップ 3.4.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = π$

ステップ 3.4.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$- \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) \frac{1}{11} d u$

ステップ 3.5

$\cos (u)$ と $\frac{1}{11}$ をまとめます。

$- \int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{\cos (u)}{11} d u$

ステップ 3.6

$\frac{1}{11}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{11}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{11} \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) d u)$

ステップ 3.7

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$- \frac{1}{11} \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π}$

ステップ 3.8

$π$ および $\frac{π}{2}$ で $\sin (u)$ の値を求めます。

$- \frac{1}{11} (\sin (π) - \sin (\frac{π}{2}))$

ステップ 3.9

簡約します。

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ステップ 3.9.1

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$- \frac{1}{11} (\sin (π) - 1 \cdot 1)$

ステップ 3.9.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{11} (\sin (π) - 1)$

ステップ 3.10

簡約します。

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ステップ 3.10.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.10.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$- \frac{1}{11} (\sin (0) - 1)$

ステップ 3.10.1.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$- \frac{1}{11} (0 - 1)$

ステップ 3.10.2

$0$ から $1$ を引きます。

$- \frac{1}{11} \cdot - 1$

ステップ 3.10.3

$- \frac{1}{11} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 3.10.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\frac{1}{11})$

ステップ 3.10.3.2

$\frac{1}{11}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{11}$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例