微分積分例

$y = x^{6}$ , $y = 8 x^{3}$

ステップ 1

代入で解き曲線間の交点を求めます。

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ステップ 1.1

各方程式の等辺を消去し、組み合わせます。

$x^{6} = 8 x^{3}$

ステップ 1.2

$x$ について $x^{6} = 8 x^{3}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

方程式の両辺から $8 x^{3}$ を引きます。

$x^{6} - 8 x^{3} = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$x^{6}$ を ${(x^{3})}^{2}$ に書き換えます。

${(x^{3})}^{2} - 8 x^{3} = 0$

ステップ 1.2.2.2

$u = x^{3}$ とします。 $u$ を $x^{3}$ に代入します。

$u^{2} - 8 u = 0$

ステップ 1.2.2.3

$u$ を $u^{2} - 8 u$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.3.1

$u$ を $u^{2}$ で因数分解します。

$u \cdot u - 8 u = 0$

ステップ 1.2.2.3.2

$u$ を $- 8 u$ で因数分解します。

$u \cdot u + u \cdot - 8 = 0$

ステップ 1.2.2.3.3

$u$ を $u \cdot u + u \cdot - 8$ で因数分解します。

$u (u - 8) = 0$

ステップ 1.2.2.4

$u$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$x^{3} (x^{3} - 8) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{3} = 0$

$x^{3} - 8 = 0 + y = 8 x^{3}$

ステップ 1.2.4

$x^{3}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$x^{3}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{3} = 0$

ステップ 1.2.4.2

$x$ について $x^{3} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

ステップ 1.2.4.2.2

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.2.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 1.2.4.2.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 1.2.5

$x^{3} - 8$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.1

$x^{3} - 8$ が $0$ に等しいとします。

$x^{3} - 8 = 0$

ステップ 1.2.5.2

$x$ について $x^{3} - 8 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.2.1

方程式の両辺に $8$ を足します。

$x^{3} = 8$

ステップ 1.2.5.2.2

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$x^{3} - 8 = 0$

ステップ 1.2.5.2.3

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.2.5.2.3.1

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$x^{3} - 2^{3} = 0$

ステップ 1.2.5.2.3.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

ステップ 1.2.5.2.3.3

簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.3.3.1

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) = 0$

ステップ 1.2.5.2.3.3.2

$2$ を $2$ 乗します。

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

ステップ 1.2.5.2.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0 + y = 8 x^{3}$

ステップ 1.2.5.2.5

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.2.5.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 1.2.5.2.5.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 1.2.5.2.6

$x^{2} + 2 x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.6.1

$x^{2} + 2 x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

ステップ 1.2.5.2.6.2

$x$ について $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.2.6.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 8 x^{3}$

ステップ 1.2.5.2.6.2.2

$a = 1$ 、 $b = 2$ 、および $c = 4$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1} + y = 8 x^{3}$

ステップ 1.2.5.2.6.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.6.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.6.2.3.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.6.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.6.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.6.2.3.1.2.2

$- 4$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.6.2.3.1.3

$4$ から $16$ を引きます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.6.2.3.1.4

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.6.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.6.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.6.2.3.1.7

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.6.2.3.1.7.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.6.2.3.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.6.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.6.2.3.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.6.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 1.2.5.2.6.2.3.3

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

ステップ 1.2.5.2.6.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 1.2.5.2.6.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.6.2.4.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.6.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.6.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.6.2.4.1.2.2

$- 4$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.6.2.4.1.3

$4$ から $16$ を引きます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.6.2.4.1.4

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.6.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.6.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.6.2.4.1.7

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.6.2.4.1.7.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.6.2.4.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.6.2.4.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.6.2.4.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.6.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 1.2.5.2.6.2.4.3

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

ステップ 1.2.5.2.6.2.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

ステップ 1.2.5.2.6.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 1.2.5.2.6.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.6.2.5.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.6.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.6.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.6.2.5.1.2.2

$- 4$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.6.2.5.1.3

$4$ から $16$ を引きます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.6.2.5.1.4

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.6.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.6.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.6.2.5.1.7

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 1.2.5.2.6.2.5.1.7.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.6.2.5.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.6.2.5.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.6.2.5.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.6.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 1.2.5.2.6.2.5.3

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

ステップ 1.2.5.2.6.2.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

ステップ 1.2.5.2.6.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

ステップ 1.2.5.2.7

最終解は $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

ステップ 1.2.6

最終解は $x^{3} (x^{3} - 8) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

ステップ 1.3

$x = 0$ のとき、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$0$ を $x$ に代入します。

$y = 8 {(0)}^{3}$

ステップ 1.3.2

$y = 8 {(0)}^{3}$ の $0$ を $x$ に代入して $y$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

括弧を削除します。

$y = 8 \cdot 0^{3}$

ステップ 1.3.2.2

$8 \cdot 0^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$y = 8 \cdot 0$

ステップ 1.3.2.2.2

$8$ に $0$ をかけます。

$y = 0$

ステップ 1.4

$x = 2$ のとき、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$2$ を $x$ に代入します。

$y = 8 {(2)}^{3}$

ステップ 1.4.2

$y = 8 {(2)}^{3}$ の $2$ を $x$ に代入して $y$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

括弧を削除します。

$y = 8 \cdot 2^{3}$

ステップ 1.4.2.2

$8 \cdot 2^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

$2$ を $3$ 乗します。

$y = 8 \cdot 8$

ステップ 1.4.2.2.2

$8$ に $8$ をかけます。

$y = 64$

ステップ 1.5

すべての解をまとめます。

$y = 0, x = 0$

$y = 64, x = 2$

$y = 64, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 64, x = - 1 - i \sqrt{3}$

$y = 0, x = 0$

$y = 64, x = 2$

$y = 64, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 64, x = - 1 - i \sqrt{3}$

ステップ 2

与えられた曲線間の面積は非有界です。

有界でない面積

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例