微分積分例

$y = \sqrt{3 - 7 x}$ , $x = 0$

ステップ 1

代入で解き曲線間の交点を求めます。

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ステップ 1.1

各方程式の等辺を消去し、組み合わせます。

$\sqrt{3 - 7 x} = 0$

ステップ 1.2

$x$ について $\sqrt{3 - 7 x} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{3 - 7 x}}^{2} = 0^{2}$

ステップ 1.2.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3 - 7 x}$ を ${(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 1.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.2.1

${({(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.2.2.1.1

${({(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 1.2.2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 1.2.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(3 - 7 x)}^{1} = 0^{2}$

ステップ 1.2.2.2.1.2

簡約します。

$3 - 7 x = 0^{2}$

ステップ 1.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$3 - 7 x = 0$

ステップ 1.2.3

$x$ について解きます。

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ステップ 1.2.3.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$- 7 x = - 3$

ステップ 1.2.3.2

$- 7 x = - 3$ の各項を $- 7$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$- 7 x = - 3$ の各項を $- 7$ で割ります。

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 3}{- 7}$

ステップ 1.2.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.2.1

$- 7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 3}{- 7}$

ステップ 1.2.3.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 3}{- 7}$

ステップ 1.2.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x = \frac{3}{7}$

ステップ 1.3

$\frac{3}{7}$ を $x$ に代入します。

$y = 0$

ステップ 1.4

式の解は、有効な解である順序対の完全集合です。

$(\frac{3}{7}, 0)$

ステップ 2

曲線間の領域の面積は、各領域における上の曲線の積分から下の曲線の積分を差し引いたものとして定義されます。領域は、曲線の交点で決定します。これは、代数計算またはグラフで行うことができます。

$A r e a = \int_{0}^{\frac{3}{7}} \sqrt{3 - 7 x} d x - \int_{0}^{\frac{3}{7}} 0 d x$

ステップ 3

積分し、 $0$ と $\frac{3}{7}$ の間の面積を求めます。

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ステップ 3.1

積分を1つにまとめます。

$\int_{0}^{\frac{3}{7}} \sqrt{3 - 7 x} - (0) d x$

ステップ 3.2

$\sqrt{3 - 7 x}$ から $0$ を引きます。

$\int_{0}^{\frac{3}{7}} \sqrt{3 - 7 x} d x$

ステップ 3.3

$u = 3 - 7 x$ とします。次に $d u = - 7 d x$ すると、 $- \frac{1}{7} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.3.1

$u = 3 - 7 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.3.1.1

$3 - 7 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 - 7 x]$

ステップ 3.3.1.2

微分します。

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ステップ 3.3.1.2.1

総和則では、 $3 - 7 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

ステップ 3.3.1.2.2

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

ステップ 3.3.1.3

$\frac{d}{d x} [- 7 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1.3.1

$- 7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 7 x$ の微分係数は $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - 7 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 7 \cdot 1$

ステップ 3.3.1.3.3

$- 7$ に $1$ をかけます。

$0 - 7$

ステップ 3.3.1.4

$0$ から $7$ を引きます。

$- 7$

ステップ 3.3.2

$u = 3 - 7 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 3 - 7 \cdot 0$

ステップ 3.3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$- 7$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 3 + 0$

ステップ 3.3.3.2

$3$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = 3$

ステップ 3.3.4

$u = 3 - 7 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 3 - 7 (\frac{3}{7})$

ステップ 3.3.5

簡約します。

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ステップ 3.3.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.5.1.1

$7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.5.1.1.1

$7$ を $- 7$ で因数分解します。

$u_{upper} = 3 + 7 (- 1) \frac{3}{7}$

ステップ 3.3.5.1.1.2

共通因数を約分します。

$u_{upper} = 3 + 7 \cdot - 1 \frac{3}{7}$

ステップ 3.3.5.1.1.3

式を書き換えます。

$u_{upper} = 3 - 1 \cdot 3$

ステップ 3.3.5.1.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$u_{upper} = 3 - 3$

ステップ 3.3.5.2

$3$ から $3$ を引きます。

$u_{upper} = 0$

ステップ 3.3.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 0$

ステップ 3.3.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{3}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 7} d u$

ステップ 3.4

簡約します。

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ステップ 3.4.1

分数の前に負数を移動させます。

$\int_{3}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{7}) d u$

ステップ 3.4.2

$\sqrt{u}$ と $\frac{1}{7}$ をまとめます。

$\int_{3}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{7} d u$

ステップ 3.5

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int_{3}^{0} \frac{\sqrt{u}}{7} d u$

ステップ 3.6

$\frac{1}{7}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{7}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{7} \int_{3}^{0} \sqrt{u} d u)$

ステップ 3.7

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{7} \int_{3}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.8

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$- \frac{1}{7} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{3}^{0}$

ステップ 3.9

代入し簡約します。

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ステップ 3.9.1

$0$ および $3$ で $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ の値を求めます。

$- \frac{1}{7} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

ステップ 3.9.2

簡約します。

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ステップ 3.9.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

ステップ 3.9.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

ステップ 3.9.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.9.2.3.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

ステップ 3.9.2.3.2

式を書き換えます。

$- \frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

ステップ 3.9.2.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

ステップ 3.9.2.5

$\frac{2}{3}$ に $0$ をかけます。

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

ステップ 3.9.2.6

$3^{\frac{3}{2}}$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{3^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3})$

ステップ 3.9.2.7

$2$ を $3^{\frac{3}{2}}$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 3.9.2.8

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $3^{1}$ を分子に移動させます。

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1}))$

ステップ 3.9.2.9

指数を足して $3^{\frac{3}{2}}$ に $3^{- 1}$ を掛けます。

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ステップ 3.9.2.9.1

$3^{- 1}$ を移動させます。

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot (3^{- 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}})))$

ステップ 3.9.2.9.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}}))$

ステップ 3.9.2.9.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}))$

ステップ 3.9.2.9.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}))$

ステップ 3.9.2.9.5

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}))$

ステップ 3.9.2.9.6

分子を簡約します。

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ステップ 3.9.2.9.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}}))$

ステップ 3.9.2.9.6.2

$- 2$ と $3$ をたし算します。

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 3.9.2.10

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{7} (0 - 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

ステップ 3.9.2.11

$0$ から $2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ を引きます。

$- \frac{1}{7} (- 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

ステップ 3.9.2.12

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$2 (\frac{1}{7}) \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

ステップ 3.9.2.13

$2$ と $\frac{1}{7}$ をまとめます。

$\frac{2}{7} \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

ステップ 3.9.2.14

$\frac{2}{7}$ と $3^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{7}$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例