微分積分例

$x - 2 y = - 5$ , $x^{2} + y^{2} = 25$

ステップ 1

代入で解き曲線間の交点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺に $2 y$ を足します。

$x = - 5 + 2 y$

$x^{2} + y^{2} = 25$

ステップ 1.2

各方程式の $x$ のすべての発生を $- 5 + 2 y$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$x^{2} + y^{2} = 25$ の $x$ のすべての発生を $- 5 + 2 y$ で置き換えます。

${(- 5 + 2 y)}^{2} + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

ステップ 1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

${(- 5 + 2 y)}^{2} + y^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1.1.1

${(- 5 + 2 y)}^{2}$ を $(- 5 + 2 y) (- 5 + 2 y)$ に書き換えます。

$(- 5 + 2 y) (- 5 + 2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

ステップ 1.2.2.1.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- 5 + 2 y) (- 5 + 2 y)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1.1.2.1

分配則を当てはめます。

$- 5 (- 5 + 2 y) + 2 y (- 5 + 2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

ステップ 1.2.2.1.1.2.2

分配則を当てはめます。

$- 5 \cdot - 5 - 5 (2 y) + 2 y (- 5 + 2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

ステップ 1.2.2.1.1.2.3

分配則を当てはめます。

$- 5 \cdot - 5 - 5 (2 y) + 2 y \cdot - 5 + 2 y (2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$- 5 \cdot - 5 - 5 (2 y) + 2 y \cdot - 5 + 2 y (2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

ステップ 1.2.2.1.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1.1.3.1.1

$- 5$ に $- 5$ をかけます。

$25 - 5 (2 y) + 2 y \cdot - 5 + 2 y (2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

ステップ 1.2.2.1.1.3.1.2

$2$ に $- 5$ をかけます。

$25 - 10 y + 2 y \cdot - 5 + 2 y (2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

ステップ 1.2.2.1.1.3.1.3

$- 5$ に $2$ をかけます。

$25 - 10 y - 10 y + 2 y (2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

ステップ 1.2.2.1.1.3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$25 - 10 y - 10 y + 2 \cdot (2 y \cdot y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

ステップ 1.2.2.1.1.3.1.5

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1.1.3.1.5.1

$y$ を移動させます。

$25 - 10 y - 10 y + 2 \cdot (2 (y \cdot y)) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

ステップ 1.2.2.1.1.3.1.5.2

$y$ に $y$ をかけます。

$25 - 10 y - 10 y + 2 \cdot (2 y^{2}) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 10 y - 10 y + 2 \cdot (2 y^{2}) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

ステップ 1.2.2.1.1.3.1.6

$2$ に $2$ をかけます。

$25 - 10 y - 10 y + 4 y^{2} + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 10 y - 10 y + 4 y^{2} + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

ステップ 1.2.2.1.1.3.2

$- 10 y$ から $10 y$ を引きます。

$25 - 20 y + 4 y^{2} + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 20 y + 4 y^{2} + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 20 y + 4 y^{2} + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

ステップ 1.2.2.1.2

$4 y^{2}$ と $y^{2}$ をたし算します。

$25 - 20 y + 5 y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 20 y + 5 y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 20 y + 5 y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 20 y + 5 y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

ステップ 1.3

$25 - 20 y + 5 y^{2} = 25$ の $y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

方程式の両辺から $25$ を引きます。

$25 - 20 y + 5 y^{2} - 25 = 0$

$x = - 5 + 2 y$

ステップ 1.3.2

$25 - 20 y + 5 y^{2} - 25$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$25$ から $25$ を引きます。

$- 20 y + 5 y^{2} + 0 = 0$

$x = - 5 + 2 y$

ステップ 1.3.2.2

$- 20 y + 5 y^{2}$ と $0$ をたし算します。

$- 20 y + 5 y^{2} = 0$

$x = - 5 + 2 y$

$- 20 y + 5 y^{2} = 0$

$x = - 5 + 2 y$

ステップ 1.3.3

$- 5 y$ を $- 20 y + 5 y^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$- 20 y$ と $5 y^{2}$ を並べ替えます。

$5 y^{2} - 20 y = 0$

$x = - 5 + 2 y$

ステップ 1.3.3.2

$- 5 y$ を $5 y^{2}$ で因数分解します。

$- 5 y (- y) - 20 y = 0$

$x = - 5 + 2 y$

ステップ 1.3.3.3

$- 5 y$ を $- 20 y$ で因数分解します。

$- 5 y (- y) - 5 y \cdot 4 = 0$

$x = - 5 + 2 y$

ステップ 1.3.3.4

$- 5 y$ を $- 5 y (- y) - 5 y (4)$ で因数分解します。

$- 5 y (- y + 4) = 0$

$x = - 5 + 2 y$

$- 5 y (- y + 4) = 0$

$x = - 5 + 2 y$

ステップ 1.3.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$y = 0$

$- y + 4 = 0$

$x = - 5 + 2 y$

ステップ 1.3.5

$y$ が $0$ に等しいとします。

$y = 0$

$x = - 5 + 2 y$

ステップ 1.3.6

$- y + 4$ を $0$ に等しくし、 $y$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1

$- y + 4$ が $0$ に等しいとします。

$- y + 4 = 0$

$x = - 5 + 2 y$

ステップ 1.3.6.2

$y$ について $- y + 4 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.2.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$- y = - 4$

$x = - 5 + 2 y$

ステップ 1.3.6.2.2

$- y = - 4$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.2.2.1

$- y = - 4$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

$x = - 5 + 2 y$

ステップ 1.3.6.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{y}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

$x = - 5 + 2 y$

ステップ 1.3.6.2.2.2.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- 4}{- 1}$

$x = - 5 + 2 y$

$y = \frac{- 4}{- 1}$

$x = - 5 + 2 y$

ステップ 1.3.6.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.2.2.3.1

$- 4$ を $- 1$ で割ります。

$y = 4$

$x = - 5 + 2 y$

$y = 4$

$x = - 5 + 2 y$

$y = 4$

$x = - 5 + 2 y$

$y = 4$

$x = - 5 + 2 y$

$y = 4$

$x = - 5 + 2 y$

ステップ 1.3.7

最終解は $- 5 y (- y + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$y = 0, 4$

$x = - 5 + 2 y$

$y = 0, 4$

$x = - 5 + 2 y$

ステップ 1.4

各方程式の $y$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$x = - 5 + 2 y$ の $y$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

$x = - 5 + 2 (0)$

$y = 0$

ステップ 1.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$- 5 + 2 (0)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$x = - 5 + 0$

$y = 0$

ステップ 1.4.2.1.2

$- 5$ と $0$ をたし算します。

$x = - 5$

$y = 0$

$x = - 5$

$y = 0$

$x = - 5$

$y = 0$

$x = - 5$

$y = 0$

ステップ 1.5

各方程式の $y$ のすべての発生を $4$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$x = - 5 + 2 y$ の $y$ のすべての発生を $4$ で置き換えます。

$x = - 5 + 2 (4)$

$y = 4$

ステップ 1.5.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1

$- 5 + 2 (4)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.1

$2$ に $4$ をかけます。

$x = - 5 + 8$

$y = 4$

ステップ 1.5.2.1.2

$- 5$ と $8$ をたし算します。

$x = 3$

$y = 4$

$x = 3$

$y = 4$

$x = 3$

$y = 4$

$x = 3$

$y = 4$

ステップ 1.6

式の解は、有効な解である順序対の完全集合です。

$(- 5, 0)$

$(3, 4)$

$(- 5, 0)$

$(3, 4)$

ステップ 2

方程式の両辺に $2 y$ を足します。

$x = - 5 + 2 y$

ステップ 3

$x$ について $x^{2} + y^{2} = 25$ を解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺から $y^{2}$ を引きます。

$x^{2} = 25 - y^{2}$

ステップ 3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25 - y^{2}}$

ステップ 3.3

$\pm \sqrt{25 - y^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{5^{2} - y^{2}}$

ステップ 3.3.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 5$ であり、 $b = y$ です。

$x = \pm \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

ステップ 3.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

ステップ 3.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

ステップ 3.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = - \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = - \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = - \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

ステップ 4

曲線間の領域の面積は、各領域における上の曲線の積分から下の曲線の積分を差し引いたものとして定義されます。領域は、曲線の交点で決定します。これは、代数計算またはグラフで行うことができます。

$A r e a = \int_{0}^{4} \sqrt{(5 + y) (5 - y)} d y - \int_{0}^{4} - 5 + 2 y d y$

ステップ 5

積分し、 $0$ と $4$ の間の面積を求めます。

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ステップ 5.1

積分を1つにまとめます。

$\int_{0}^{4} \sqrt{(5 + y) (5 - y)} - (- 5 + 2 y) d y$

ステップ 5.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

分配則を当てはめます。

$\sqrt{(5 + y) (5 - y)} - - 5 - (2 y)$

ステップ 5.2.2

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$\sqrt{(5 + y) (5 - y)} + 5 - (2 y)$

ステップ 5.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\sqrt{(5 + y) (5 - y)} + 5 - 2 y$

$\int_{0}^{4} \sqrt{(5 + y) (5 - y)} + 5 - 2 y d y$

ステップ 5.3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{4} \sqrt{(5 + y) (5 - y)} d y + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

ステップ 5.4

平方を完成させます。

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ステップ 5.4.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(5 + y) (5 - y)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.1.1

分配則を当てはめます。

$5 (5 - y) + y (5 - y)$

ステップ 5.4.1.1.2

分配則を当てはめます。

$5 \cdot 5 + 5 (- y) + y (5 - y)$

ステップ 5.4.1.1.3

分配則を当てはめます。

$5 \cdot 5 + 5 (- y) + y \cdot 5 + y (- y)$

ステップ 5.4.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.2.1.1

$5$ に $5$ をかけます。

$25 + 5 (- y) + y \cdot 5 + y (- y)$

ステップ 5.4.1.2.1.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$25 - 5 y + y \cdot 5 + y (- y)$

ステップ 5.4.1.2.1.3

$5$ を $y$ の左に移動させます。

$25 - 5 y + 5 \cdot y + y (- y)$

ステップ 5.4.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$25 - 5 y + 5 y - y \cdot y$

ステップ 5.4.1.2.1.5

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.2.1.5.1

$y$ を移動させます。

$25 - 5 y + 5 y - (y \cdot y)$

ステップ 5.4.1.2.1.5.2

$y$ に $y$ をかけます。

$25 - 5 y + 5 y - y^{2}$

ステップ 5.4.1.2.2

$- 5 y$ と $5 y$ をたし算します。

$25 + 0 - y^{2}$

ステップ 5.4.1.2.3

$25$ と $0$ をたし算します。

$25 - y^{2}$

ステップ 5.4.1.3

$25$ と $- y^{2}$ を並べ替えます。

$- y^{2} + 25$

ステップ 5.4.2

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 25$

ステップ 5.4.3

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 5.4.4

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 5.4.4.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

ステップ 5.4.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.4.2.1

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.4.2.1.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

ステップ 5.4.4.2.1.2

$\frac{0}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$d = - 1 \cdot 0$

ステップ 5.4.4.2.2

$- 1 \cdot 0$ を $- 0$ に書き換えます。

$d = - 0$

ステップ 5.4.4.2.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$d = 0$

ステップ 5.4.5

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.5.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 25 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

ステップ 5.4.5.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.5.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$e = 25 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

ステップ 5.4.5.2.1.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$e = 25 - \frac{0}{- 4}$

ステップ 5.4.5.2.1.3

$0$ を $- 4$ で割ります。

$e = 25 - 0$

ステップ 5.4.5.2.1.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$e = 25 + 0$

ステップ 5.4.5.2.2

$25$ と $0$ をたし算します。

$e = 25$

ステップ 5.4.6

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- {(y + 0)}^{2} + 25$ に代入します。

$\int_{0}^{4} \sqrt{- {(y + 0)}^{2} + 25} d y + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

ステップ 5.5

$u_{1} = y + 0$ とします。次に $d u_{1} = d y$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.5.1

$u_{1} = y + 0$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.1

$y + 0$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y + 0]$

ステップ 5.5.1.2

総和則では、 $y + 0$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [0]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [0]$

ステップ 5.5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [0]$

ステップ 5.5.1.4

$0$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $0$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 5.5.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 5.5.2

$u_{1} = y + 0$ の $y$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0 + 0$

ステップ 5.5.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = 0$

ステップ 5.5.4

$u_{1} = y + 0$ の $y$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 4 + 0$

ステップ 5.5.5

$4$ と $0$ をたし算します。

$u_{upper} = 4$

ステップ 5.5.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4$

ステップ 5.5.7

$u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{4} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 25} d u_{1} + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

ステップ 5.6

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $u_{1} = 5 \sin (t)$ とします。次に $d u_{1} = 5 \cos (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $5 \cos (t)$ は正であることに注意します。

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{- {(5 \sin (t))}^{2} + 25} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

ステップ 5.7

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.1

$\sqrt{- {(5 \sin (t))}^{2} + 25}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.1.1.1

積の法則を $5 \sin (t)$ に当てはめます。

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{- (5^{2} \sin^{2} (t)) + 25} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

ステップ 5.7.1.1.2

$5$ を $2$ 乗します。

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{- (25 \sin^{2} (t)) + 25} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

ステップ 5.7.1.1.3

$25$ に $- 1$ をかけます。

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{- 25 \sin^{2} (t) + 25} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

ステップ 5.7.1.2

$- 25 \sin^{2} (t)$ と $25$ を並べ替えます。

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 - 25 \sin^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

ステップ 5.7.1.3

$25$ を $25$ で因数分解します。

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 (1) - 25 \sin^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

ステップ 5.7.1.4

$25$ を $- 25 \sin^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

ステップ 5.7.1.5

$25$ を $25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))$ で因数分解します。

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 (1 - \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

ステップ 5.7.1.6

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 \cos^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

ステップ 5.7.1.7

$25 \cos^{2} (t)$ を ${(5 \cos (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{{(5 \cos (t))}^{2}} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

ステップ 5.7.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int_{0}^{0.92729521} 5 \cos (t) (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

ステップ 5.7.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.2.1

$5$ に $5$ をかけます。

$\int_{0}^{0.92729521} 25 \cos (t) \cos (t) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

ステップ 5.7.2.2

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$\int_{0}^{0.92729521} 25 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

ステップ 5.7.2.3

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$\int_{0}^{0.92729521} 25 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

ステップ 5.7.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{0}^{0.92729521} 25 {\cos (t)}^{1 + 1} d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

ステップ 5.7.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int_{0}^{0.92729521} 25 \cos^{2} (t) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

ステップ 5.8

$25$ は $t$ に対して定数なので、 $25$ を積分の外に移動させます。

$25 \int_{0}^{0.92729521} \cos^{2} (t) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

ステップ 5.9

半角公式を利用して $\cos^{2} (t)$ を $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ に書き換えます。

$25 \int_{0}^{0.92729521} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

ステップ 5.10

$\frac{1}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$25 (\frac{1}{2} \int_{0}^{0.92729521} 1 + \cos (2 t) d t) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

ステップ 5.11

$\frac{1}{2}$ と $25$ をまとめます。

$\frac{25}{2} \int_{0}^{0.92729521} 1 + \cos (2 t) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

ステップ 5.12

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{25}{2} (\int_{0}^{0.92729521} d t + \int_{0}^{0.92729521} \cos (2 t) d t) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

ステップ 5.13

定数の法則を当てはめます。

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \int_{0}^{0.92729521} \cos (2 t) d t) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

ステップ 5.14

$u_{2} = 2 t$ とします。次に $d u_{2} = 2 d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.14.1

$u_{2} = 2 t$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d t}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.14.1.1

$2 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

ステップ 5.14.1.2

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 5.14.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 5.14.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 5.14.2

$u_{2} = 2 t$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

ステップ 5.14.3

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 5.14.4

$u_{2} = 2 t$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 \cdot 0.92729521$

ステップ 5.14.5

$2$ に $0.92729521$ をかけます。

$u_{upper} = 1.85459043$

ステップ 5.14.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1.85459043$

ステップ 5.14.7

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \int_{0}^{1.85459043} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

ステップ 5.15

$\cos (u_{2})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \int_{0}^{1.85459043} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

ステップ 5.16

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \int_{0}^{1.85459043} \cos (u_{2}) d u_{2}) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

ステップ 5.17

$\cos (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $\sin (u_{2})$ です。

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{1.85459043}) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

ステップ 5.18

定数の法則を当てはめます。

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{1.85459043}) + 5 y]_{0}^{4} + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

ステップ 5.19

$- 2$ は $y$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{1.85459043}) + 5 y]_{0}^{4} - 2 \int_{0}^{4} y d y$

ステップ 5.20

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{1.85459043}) + 5 y]_{0}^{4} - 2 (\frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{4})$

ステップ 5.21

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{1.85459043}) + 5 y]_{0}^{4} - 2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4})$

ステップ 5.22

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.22.1

$0.92729521$ および $0$ で $t$ の値を求めます。

$\frac{25}{2} ((0.92729521) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{1.85459043}) + 5 y]_{0}^{4} - 2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4})$

ステップ 5.22.2

$1.85459043$ および $0$ で $\sin (u_{2})$ の値を求めます。

$\frac{25}{2} ((0.92729521) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (1.85459043)) - \sin (0))) + 5 y]_{0}^{4} - 2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4})$

ステップ 5.22.3

$4$ および $0$ で $5 y$ の値を求めます。

$\frac{25}{2} ((0.92729521) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (1.85459043)) - \sin (0))) + (5 \cdot 4) - 5 \cdot 0 - 2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4})$

ステップ 5.22.4

$4$ および $0$ で $\frac{y^{2}}{2}$ の値を求めます。

$\frac{25}{2} ((0.92729521) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (1.85459043)) - \sin (0))) + (5 \cdot 4) - 5 \cdot 0 - 2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

ステップ 5.22.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.22.5.1

$0.92729521$ と $0$ をたし算します。

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} ((\sin (1.85459043)) - \sin (0))) + (5 \cdot 4) - 5 \cdot 0 - 2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

ステップ 5.22.5.2

$5$ に $4$ をかけます。

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 5 \cdot 0 - 2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

ステップ 5.22.5.3

$- 5$ に $0$ をかけます。

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 + 0 - 2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

ステップ 5.22.5.4

$20$ と $0$ をたし算します。

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

ステップ 5.22.5.5

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

ステップ 5.22.5.6

$16$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.22.5.6.1

$2$ を $16$ で因数分解します。

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

ステップ 5.22.5.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.22.5.6.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

ステップ 5.22.5.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

ステップ 5.22.5.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

ステップ 5.22.5.6.2.4

$8$ を $1$ で割ります。

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - \frac{0^{2}}{2})$

ステップ 5.22.5.7

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - \frac{0}{2})$

ステップ 5.22.5.8

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.22.5.8.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - \frac{2 (0)}{2})$

ステップ 5.22.5.8.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.22.5.8.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

ステップ 5.22.5.8.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

ステップ 5.22.5.8.2.3

式を書き換えます。

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - \frac{0}{1})$

ステップ 5.22.5.8.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - 0)$

ステップ 5.22.5.9

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 + 0)$

ステップ 5.22.5.10

$8$ と $0$ をたし算します。

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 \cdot 8$

ステップ 5.22.5.11

$- 2$ に $8$ をかけます。

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 16$

ステップ 5.22.5.12

$20$ から $16$ を引きます。

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 4$

ステップ 5.23

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.23.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - 0)) + 4$

ステップ 5.23.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) + 0)) + 4$

ステップ 5.23.3

$\sin (1.85459043)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} \sin (1.85459043)) + 4$

ステップ 5.23.4

$\frac{1}{2}$ と $\sin (1.85459043)$ をまとめます。

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{\sin (1.85459043)}{2}) + 4$

ステップ 5.23.5

$0.92729521$ と $\frac{\sin (1.85459043)}{2}$ をたし算します。

$\frac{25}{2} \cdot 1.40729521 + 4$

ステップ 5.23.6

$\frac{25}{2}$ と $1.40729521$ をまとめます。

$\frac{25 \cdot 1.40729521}{2} + 4$

ステップ 5.23.7

$25$ に $1.40729521$ をかけます。

$\frac{35.18238045}{2} + 4$

ステップ 5.23.8

$4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{35.18238045}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 5.23.9

$4$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{35.18238045}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}$

ステップ 5.23.10

公分母の分子をまとめます。

$\frac{35.18238045 + 4 \cdot 2}{2}$

ステップ 5.23.11

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{35.18238045 + 8}{2}$

ステップ 5.23.12

$35.18238045$ と $8$ をたし算します。

$\frac{43.18238045}{2}$

ステップ 5.24

$43.18238045$ を $2$ で割ります。

$21.59119022$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例