微分積分例

$y = \frac{1}{x}$ , $x = 1$ , $x = 2$ , $y = 0$

ステップ 1

立体の体積を求めるために、まず各部分の面積を定義し、その値域で積分します。各部分の面積は半径 $f (x)$ と $A = π r^{2}$ を持つ円の面積です。

$f (x) = \frac{1}{x}$ ならば $V = π \int_{1}^{2} {(f (x))}^{2} d x$

ステップ 2

被積分関数を簡約します。

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ステップ 2.1

積の法則を $\frac{1}{x}$ に当てはめます。

$V = \frac{1^{2}}{x^{2}}$

ステップ 2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$V = \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 3

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 3.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$V = π \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 3.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$V = π \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 3.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$V = π \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

ステップ 4

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$V = π - x^{- 1}]_{1}^{2}$

ステップ 5

代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$2$ および $1$ で $- x^{- 1}$ の値を求めます。

$V = π ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$V = π (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

ステップ 5.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$V = π (- \frac{1}{2} + 1)$

ステップ 5.2.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$V = π (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

ステップ 5.2.4

公分母の分子をまとめます。

$V = π (\frac{- 1 + 2}{2})$

ステップ 5.2.5

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$V = π (\frac{1}{2})$

ステップ 5.2.6

$π$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$V = \frac{π}{2}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$V = \frac{π}{2}$

10進法形式：

$V = 1.57079632 \dots$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例