微分積分例

$y = 2 x^{2}$ , $y = 0$ , $x = 2$

ステップ 1

立体の体積を求めるために、まず各部分の面積を定義し、その値域で積分します。各部分の面積は半径 $f (x)$ と $A = π r^{2}$ を持つ円の面積です。

$f (x) = 2 x^{2}$ ならば $V = π \int_{0}^{2} {(f (x))}^{2} d x$

ステップ 2

被積分関数を簡約します。

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ステップ 2.1

積の法則を $2 x^{2}$ に当てはめます。

$V = 2^{2} {(x^{2})}^{2}$

ステップ 2.2

$2$ を $2$ 乗します。

$V = 4 {(x^{2})}^{2}$

ステップ 2.3

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$V = 4 x^{2 \cdot 2}$

ステップ 2.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$V = 4 x^{4}$

ステップ 3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$V = π (4 \int_{0}^{2} x^{4} d x)$

ステップ 4

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$V = 4 π \int_{0}^{2} x^{4} d x$

ステップ 5

べき乗則では、 $x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{5} x^{5}$ です。

$V = 4 π \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{2}$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{5}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$V = 4 π \frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}$

ステップ 6.2

代入し簡約します。

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ステップ 6.2.1

$2$ および $0$ で $\frac{x^{5}}{5}$ の値を求めます。

$V = 4 π ((\frac{2^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5})$

ステップ 6.2.2

簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$2$ を $5$ 乗します。

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

ステップ 6.2.2.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{0}{5})$

ステップ 6.2.2.3

$0$ と $5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.3.1

$5$ を $0$ で因数分解します。

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{5 (0)}{5})$

ステップ 6.2.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.3.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

ステップ 6.2.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

ステップ 6.2.2.3.2.3

式を書き換えます。

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{0}{1})$

ステップ 6.2.2.3.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$V = 4 π (\frac{32}{5} - 0)$

ステップ 6.2.2.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$V = 4 π (\frac{32}{5} + 0)$

ステップ 6.2.2.5

$\frac{32}{5}$ と $0$ をたし算します。

$V = 4 π (\frac{32}{5})$

ステップ 6.2.2.6

$\frac{32}{5}$ と $4$ をまとめます。

$V = \frac{32 \cdot 4}{5} \cdot π$

ステップ 6.2.2.7

$32$ に $4$ をかけます。

$V = \frac{128}{5} \cdot π$

ステップ 6.2.2.8

$\frac{128}{5}$ と $π$ をまとめます。

$V = \frac{128 π}{5}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$V = \frac{128 π}{5}$

10進法形式：

$V = 80.42477193 \dots$

ステップ 8

微分積分 例

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