微分積分例

$y = x + 2$ , $y = x^{2}$

ステップ 1

立体の体積を求めるために、まず各部分の面積を定義し、その値域で積分します。各部分の面積は半径 $f (x)$ と $A = π r^{2}$ を持つ円の面積です。

$f (x) = x + 2$ および $g (x) = x^{2}$ ならば $V = π \int_{- 1}^{2} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$

ステップ 2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

${(x + 2)}^{2}$ を $(x + 2) (x + 2)$ に書き換えます。

$V = (x + 2) (x + 2) - {(x^{2})}^{2}$

ステップ 2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 2) (x + 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

分配則を当てはめます。

$V = x (x + 2) + 2 (x + 2) - {(x^{2})}^{2}$

ステップ 2.2.2

分配則を当てはめます。

$V = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2) - {(x^{2})}^{2}$

ステップ 2.2.3

分配則を当てはめます。

$V = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 - {(x^{2})}^{2}$

ステップ 2.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$V = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 - {(x^{2})}^{2}$

ステップ 2.3.1.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$V = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2 - {(x^{2})}^{2}$

ステップ 2.3.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$V = x^{2} + 2 x + 2 x + 4 - {(x^{2})}^{2}$

ステップ 2.3.2

$2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$V = x^{2} + 4 x + 4 - {(x^{2})}^{2}$

ステップ 2.4

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$V = x^{2} + 4 x + 4 - x^{2 \cdot 2}$

ステップ 2.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$V = x^{2} + 4 x + 4 - x^{4}$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$V = π (\int_{- 1}^{2} x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 4 x d x + \int_{- 1}^{2} 4 d x + \int_{- 1}^{2} - x^{4} d x)$

ステップ 4

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$V = π (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} 4 x d x + \int_{- 1}^{2} 4 d x + \int_{- 1}^{2} - x^{4} d x)$

ステップ 5

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} 4 x d x + \int_{- 1}^{2} 4 d x + \int_{- 1}^{2} - x^{4} d x)$

ステップ 6

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2} + 4 \int_{- 1}^{2} x d x + \int_{- 1}^{2} 4 d x + \int_{- 1}^{2} - x^{4} d x)$

ステップ 7

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2} + 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 4 d x + \int_{- 1}^{2} - x^{4} d x)$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 4 d x + \int_{- 1}^{2} - x^{4} d x)$

ステップ 9

定数の法則を当てはめます。

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + 4 x]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} - x^{4} d x)$

ステップ 10

$\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}$ と $4 x]_{- 1}^{2}$ をまとめます。

$V = π (4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + \frac{x^{3}}{3} + 4 x]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} - x^{4} d x)$

ステップ 11

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$V = π (4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + \frac{x^{3}}{3} + 4 x]_{- 1}^{2} - \int_{- 1}^{2} x^{4} d x)$

ステップ 12

べき乗則では、 $x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{5} x^{5}$ です。

$V = π (4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + \frac{x^{3}}{3} + 4 x]_{- 1}^{2} - (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{2}))$

ステップ 13

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{1}{5}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$V = π (4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + \frac{x^{3}}{3} + 4 x]_{- 1}^{2} - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{2}))$

ステップ 13.2

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

$2$ および $- 1$ で $\frac{x^{2}}{2}$ の値を求めます。

$V = π (4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{x^{3}}{3} + 4 x]_{- 1}^{2} - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{2}))$

ステップ 13.2.2

$2$ および $- 1$ で $\frac{x^{3}}{3} + 4 x$ の値を求めます。

$V = π (4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{2}))$

ステップ 13.2.3

$2$ および $- 1$ で $\frac{x^{5}}{5}$ の値を求めます。

$V = π (4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.4.1

$2$ を $2$ 乗します。

$V = π (4 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4.2

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.4.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$V = π (4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.4.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$V = π (4 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4.2.2.2

共通因数を約分します。

$V = π (4 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4.2.2.3

式を書き換えます。

$V = π (4 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$V = π (4 (2 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$V = π (4 (2 - \frac{1}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4.4

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$V = π (4 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4.5

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$V = π (4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4.6

公分母の分子をまとめます。

$V = π (4 (\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.4.7.1

$2$ に $2$ をかけます。

$V = π (4 (\frac{4 - 1}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4.7.2

$4$ から $1$ を引きます。

$V = π (4 (\frac{3}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4.8

$4$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$V = π (\frac{4 \cdot 3}{2} + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4.9

$4$ に $3$ をかけます。

$V = π (\frac{12}{2} + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4.10

$12$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.4.10.1

$2$ を $12$ で因数分解します。

$V = π (\frac{2 \cdot 6}{2} + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4.10.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.4.10.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$V = π (\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4.10.2.2

共通因数を約分します。

$V = π (\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4.10.2.3

式を書き換えます。

$V = π (\frac{6}{1} + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4.10.2.4

$6$ を $1$ で割ります。

$V = π (6 + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4.11

$2$ を $3$ 乗します。

$V = π (6 + \frac{8}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4.12

$4$ に $2$ をかけます。

$V = π (6 + \frac{8}{3} + 8 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4.13

$8$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$V = π (6 + \frac{8}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4.14

$8$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$V = π (6 + \frac{8}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3} - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4.15

公分母の分子をまとめます。

$V = π (6 + \frac{8 + 8 \cdot 3}{3} - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4.16

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.4.16.1

$8$ に $3$ をかけます。

$V = π (6 + \frac{8 + 24}{3} - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4.16.2

$8$ と $24$ をたし算します。

$V = π (6 + \frac{32}{3} - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4.17

$- 1$ を $3$ 乗します。

$V = π (6 + \frac{32}{3} - (\frac{- 1}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4.18

分数の前に負数を移動させます。

$V = π (6 + \frac{32}{3} - (- \frac{1}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4.19

$4$ に $- 1$ をかけます。

$V = π (6 + \frac{32}{3} - (- \frac{1}{3} - 4) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4.20

$- 4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$V = π (6 + \frac{32}{3} - (- \frac{1}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3}) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4.21

$- 4$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$V = π (6 + \frac{32}{3} - (- \frac{1}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4.22

公分母の分子をまとめます。

$V = π (6 + \frac{32}{3} - \frac{- 1 - 4 \cdot 3}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4.23

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.4.23.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$V = π (6 + \frac{32}{3} - \frac{- 1 - 12}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4.23.2

$- 1$ から $12$ を引きます。

$V = π (6 + \frac{32}{3} - \frac{- 13}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4.24

分数の前に負数を移動させます。

$V = π (6 + \frac{32}{3} + \frac{13}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4.25

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$V = π (6 + \frac{32}{3} + 1 (\frac{13}{3}) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4.26

$\frac{13}{3}$ に $1$ をかけます。

$V = π (6 + \frac{32}{3} + \frac{13}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4.27

公分母の分子をまとめます。

$V = π (6 + \frac{32 + 13}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4.28

$32$ と $13$ をたし算します。

$V = π (6 + \frac{45}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4.29

$45$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.4.29.1

$3$ を $45$ で因数分解します。

$V = π (6 + \frac{3 \cdot 15}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4.29.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.4.29.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$V = π (6 + \frac{3 \cdot 15}{3 (1)} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4.29.2.2

共通因数を約分します。

$V = π (6 + \frac{3 \cdot 15}{3 \cdot 1} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4.29.2.3

式を書き換えます。

$V = π (6 + \frac{15}{1} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4.29.2.4

$15$ を $1$ で割ります。

$V = π (6 + 15 - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4.30

$6$ と $15$ をたし算します。

$V = π (21 - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4.31

$2$ を $5$ 乗します。

$V = π (21 - (\frac{32}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

ステップ 13.2.4.32

$- 1$ を $5$ 乗します。

$V = π (21 - (\frac{32}{5} - \frac{- 1}{5}))$

ステップ 13.2.4.33

分数の前に負数を移動させます。

$V = π (21 - (\frac{32}{5} + \frac{1}{5}))$

ステップ 13.2.4.34

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$V = π (21 - (\frac{32}{5} + 1 (\frac{1}{5})))$

ステップ 13.2.4.35

$\frac{1}{5}$ に $1$ をかけます。

$V = π (21 - (\frac{32}{5} + \frac{1}{5}))$

ステップ 13.2.4.36

公分母の分子をまとめます。

$V = π (21 - \frac{32 + 1}{5})$

ステップ 13.2.4.37

$32$ と $1$ をたし算します。

$V = π (21 - \frac{33}{5})$

ステップ 13.2.4.38

$21$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$V = π (21 \cdot \frac{5}{5} - \frac{33}{5})$

ステップ 13.2.4.39

$21$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$V = π (\frac{21 \cdot 5}{5} - \frac{33}{5})$

ステップ 13.2.4.40

公分母の分子をまとめます。

$V = π (\frac{21 \cdot 5 - 33}{5})$

ステップ 13.2.4.41

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.4.41.1

$21$ に $5$ をかけます。

$V = π (\frac{105 - 33}{5})$

ステップ 13.2.4.41.2

$105$ から $33$ を引きます。

$V = π (\frac{72}{5})$

ステップ 13.2.4.42

$π$ と $\frac{72}{5}$ をまとめます。

$V = \frac{π \cdot 72}{5}$

ステップ 13.2.4.43

$72$ を $π$ の左に移動させます。

$V = \frac{72 π}{5}$

ステップ 14

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$V = \frac{72 π}{5}$

10進法形式：

$V = 45.23893421 \dots$

ステップ 15

微分積分 例

微分積分例