微分積分例

$y = \frac{3}{x}$ , $x = 7$ , $x = 14$ , $y = 0$

ステップ 1

立体の体積を求めるために、まず各部分の面積を定義し、その値域で積分します。各部分の面積は半径 $f (x)$ と $A = π r^{2}$ を持つ円の面積です。

$f (x) = \frac{3}{x}$ ならば $V = π \int_{7}^{14} {(f (x))}^{2} d x$

ステップ 2

被積分関数を簡約します。

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ステップ 2.1

積の法則を $\frac{3}{x}$ に当てはめます。

$V = \frac{3^{2}}{x^{2}}$

ステップ 2.2

$3$ を $2$ 乗します。

$V = \frac{9}{x^{2}}$

ステップ 3

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $9$ を積分の外に移動させます。

$V = π (9 \int_{7}^{14} \frac{1}{x^{2}} d x)$

ステップ 4

式を簡約します。

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ステップ 4.1

$9$ を $π$ の左に移動させます。

$V = 9 π \int_{7}^{14} \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.2.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$V = 9 π \int_{7}^{14} {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 4.2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$V = 9 π \int_{7}^{14} x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 4.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$V = 9 π \int_{7}^{14} x^{- 2} d x$

ステップ 5

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$V = 9 π - x^{- 1}]_{7}^{14}$

ステップ 6

代入し簡約します。

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ステップ 6.1

$14$ および $7$ で $- x^{- 1}$ の値を求めます。

$V = 9 π ((- 14^{- 1}) + 7^{- 1})$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$V = 9 π (- \frac{1}{14} + 7^{- 1})$

ステップ 6.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$V = 9 π (- \frac{1}{14} + \frac{1}{7})$

ステップ 6.2.3

$\frac{1}{7}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$V = 9 π (- \frac{1}{14} + \frac{1}{7} \cdot \frac{2}{2})$

ステップ 6.2.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $14$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 6.2.4.1

$\frac{1}{7}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$V = 9 π (- \frac{1}{14} + \frac{2}{7 \cdot 2})$

ステップ 6.2.4.2

$7$ に $2$ をかけます。

$V = 9 π (- \frac{1}{14} + \frac{2}{14})$

ステップ 6.2.5

公分母の分子をまとめます。

$V = 9 π (\frac{- 1 + 2}{14})$

ステップ 6.2.6

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$V = 9 π (\frac{1}{14})$

ステップ 6.2.7

$\frac{1}{14}$ と $9$ をまとめます。

$V = \frac{9}{14} \cdot π$

ステップ 6.2.8

$\frac{9}{14}$ と $π$ をまとめます。

$V = \frac{9 π}{14}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$V = \frac{9 π}{14}$

10進法形式：

$V = 2.01959527 \dots$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例