微分積分例

$x = y^{\frac{1}{3}}$ , $x = 0$ , $y = 64$

ステップ 1

立体の体積を求めるために、まず各部分の面積を定義し、その値域で積分します。各部分の面積は半径 $f (x)$ と $A = π r^{2}$ を持つ円の面積です。

$f (x) = 64$ および $g (x) = x^{3}$ ならば $V = π \int_{0}^{4} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$

ステップ 2

各項を簡約します。

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ステップ 2.1

$64$ を $2$ 乗します。

$V = 4096 - {(x^{3})}^{2}$

ステップ 2.2

${(x^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$V = 4096 - x^{3 \cdot 2}$

ステップ 2.2.2

$3$ に $2$ をかけます。

$V = 4096 - x^{6}$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$V = π (\int_{0}^{4} 4096 d x + \int_{0}^{4} - x^{6} d x)$

ステップ 4

定数の法則を当てはめます。

$V = π (4096 x]_{0}^{4} + \int_{0}^{4} - x^{6} d x)$

ステップ 5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$V = π (4096 x]_{0}^{4} - \int_{0}^{4} x^{6} d x)$

ステップ 6

べき乗則では、 $x^{6}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{7} x^{7}$ です。

$V = π (4096 x]_{0}^{4} - (\frac{1}{7} x^{7}]_{0}^{4}))$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{7}$ と $x^{7}$ をまとめます。

$V = π (4096 x]_{0}^{4} - (\frac{x^{7}}{7}]_{0}^{4}))$

ステップ 7.2

代入し簡約します。

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ステップ 7.2.1

$4$ および $0$ で $4096 x$ の値を求めます。

$V = π ((4096 \cdot 4) - 4096 \cdot 0 - (\frac{x^{7}}{7}]_{0}^{4}))$

ステップ 7.2.2

$4$ および $0$ で $\frac{x^{7}}{7}$ の値を求めます。

$V = π (4096 \cdot 4 - 4096 \cdot 0 - (\frac{4^{7}}{7} - \frac{0^{7}}{7}))$

ステップ 7.2.3

簡約します。

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ステップ 7.2.3.1

$4096$ に $4$ をかけます。

$V = π (16384 - 4096 \cdot 0 - (\frac{4^{7}}{7} - \frac{0^{7}}{7}))$

ステップ 7.2.3.2

$- 4096$ に $0$ をかけます。

$V = π (16384 + 0 - (\frac{4^{7}}{7} - \frac{0^{7}}{7}))$

ステップ 7.2.3.3

$16384$ と $0$ をたし算します。

$V = π (16384 - (\frac{4^{7}}{7} - \frac{0^{7}}{7}))$

ステップ 7.2.3.4

$4$ を $7$ 乗します。

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} - \frac{0^{7}}{7}))$

ステップ 7.2.3.5

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} - \frac{0}{7}))$

ステップ 7.2.3.6

$0$ と $7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.3.6.1

$7$ を $0$ で因数分解します。

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} - \frac{7 (0)}{7}))$

ステップ 7.2.3.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.3.6.2.1

$7$ を $7$ で因数分解します。

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} - \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1}))$

ステップ 7.2.3.6.2.2

共通因数を約分します。

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} - \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1}))$

ステップ 7.2.3.6.2.3

式を書き換えます。

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} - \frac{0}{1}))$

ステップ 7.2.3.6.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} - 0))$

ステップ 7.2.3.7

$- 1$ に $0$ をかけます。

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} + 0))$

ステップ 7.2.3.8

$\frac{16384}{7}$ と $0$ をたし算します。

$V = π (16384 - \frac{16384}{7})$

ステップ 7.2.3.9

$16384$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{7}{7}$ を掛けます。

$V = π (16384 \cdot \frac{7}{7} - \frac{16384}{7})$

ステップ 7.2.3.10

$16384$ と $\frac{7}{7}$ をまとめます。

$V = π (\frac{16384 \cdot 7}{7} - \frac{16384}{7})$

ステップ 7.2.3.11

公分母の分子をまとめます。

$V = π (\frac{16384 \cdot 7 - 16384}{7})$

ステップ 7.2.3.12

分子を簡約します。

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ステップ 7.2.3.12.1

$16384$ に $7$ をかけます。

$V = π (\frac{114688 - 16384}{7})$

ステップ 7.2.3.12.2

$114688$ から $16384$ を引きます。

$V = π (\frac{98304}{7})$

ステップ 7.2.3.13

$π$ と $\frac{98304}{7}$ をまとめます。

$V = \frac{π \cdot 98304}{7}$

ステップ 7.2.3.14

$98304$ を $π$ の左に移動させます。

$V = \frac{98304 π}{7}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$V = \frac{98304 π}{7}$

10進法形式：

$V = 44118.73203121 \dots$

ステップ 9

微分積分 例

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